Câu hỏi:

19/08/2025 4,234

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm $O$ (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0),A(3; - 4;2)$, $B( - 5; - 2;1)$, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.

Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.

a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Câu hỏi trong đề: 22 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình đường thẳng trong không gian (có lời giải) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Do điểm $C(0;0;5)$ nên $AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})$;

$BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}$

b) Ta có: $\overrightarrow {OA} = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 2;1)$ nên $[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}$

Vì thế, vectơ $\vec n = (0;1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(OAB)$.

Mặt khác, do $\overrightarrow {CA} = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC} = (5;2;4)$ nên ta có:

- $\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}$,

suy ra $(C A, (O A B)) \approx 50^{°}$ . Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng $50^{°}$ .

$- \sin (B C, (O A B)) = | \cos (\vec{B C}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{B C} \cdot \vec{n} |}{| \vec{B C} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| 5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 |}{3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{3},$

suy ra $(B C, (O A B)) \approx 42^{°}$ . Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng $42^{°}$ .

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec u = (2; - 2;1)$ vởi tốc độ là $4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).

a) Viết phương trình đường cáp.

b) Giả sử sau $t(\;{\rm{s}})$ kể từ lúc xuất phát $(t \ge 0)$, cabin đến điểm $M$. Tìm tọa độ của điểm $M$.

c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ ${x_B} = 550$. Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: $\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}$.

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là $4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ nên độ dài AM bằng $4,5t(\;{\rm{m}})$. Vì vậy $|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)$.

Do hai vectơ $\overrightarrow {AM} $ và $\vec u$ là cùng phương và cùng hướng nên $\overrightarrow {AM} = k\vec u$ với $k$ là số thực dương nào đó. Suy ra: $|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1} = 3k$. Do đó $3k = 4,5t$. Suy ra $k = \frac{{3t}}{2}$. Vì thế, ta có: $\overrightarrow {AM} = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

Gọi toạ độ của điểm $M$ là $\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)$.

Do $\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} = - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} = - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy điểm $M$ có toạ độ là $\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

c) Do ${x_B} = 550$ nên $3t + 10 = 550$, tức là $t = 180$ (s). Do đó, ta có điểm $B(550; - 537;270)$.

Vậy $AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}} = \sqrt {656100} = 810(\;{\rm{m}})$.

d) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec u = (2; - 2;1)$ và mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến

\vec{k} = (0; 0; 1)

Do đó, ta có:

\sin (Δ, (O x y)) = | \cos (\vec{u}, \vec{k}) | = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{k} |}{| \vec{u} | \cdot | \vec{k} |} = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} .

Vậy

(Δ, (O x y)) \approx 19^{°}

Câu 2

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m , các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và (SBC).

Xem đáp án

Lời giải

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m (ảnh 2)

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Suy ra O là trung điếm của ${\rm{AC}},{\rm{BD}}$.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra $SO \bot AC$, $SO \bot BD$ nên $SO \bot (ABCD)$.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vi ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên ${\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}} = 115\sqrt 2 $.

Xét tam giác SOB vuông tại $O$, có $SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}} = 7\sqrt {439} $

Ta có $A( - 115\sqrt 2 ;0;0),B(0; - 115\sqrt 2 ;0),C(115\sqrt 2 ;0;0),S(0;0;7\sqrt {439} )$

Ta có

\vec{S A} = (- 115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}), \vec{S B} = (0; - 115 \sqrt{2}; - 7 \sqrt{439})

\begin{array}{l} \vec{S C} = (115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}) \\ Ta có [\vec{S A}, \vec{S B}] = (|\begin{matrix} 0 & - 7 \sqrt{439} \\ - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & - 115 \sqrt{2} \\ - 7 \sqrt{439} & 0 \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - 115 \sqrt{2} \end{matrix}|) \\ = (- 805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450) \end{array}

[\vec{S B}, \vec{S C}] = (|\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \\ 0 & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & 0 \\ - 7 \sqrt{439} & 115 \sqrt{2} \end{matrix}|, |\begin{matrix} 0 & - 115 \sqrt{2} \\ 115 \sqrt{2} & 0 \end{matrix}|) = (805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450)

Mặt phắng (SAB) nhận $\vec{n} = \frac{1}{5} [\vec{S A}, \vec{S B}] = (- 161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phắng (SBC) nhận $\vec{n^{'}} = \frac{1}{5} [\vec{S B}, \vec{S C}] = (161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l} \cos ((S A B), (S B C)) = \frac{|- {(161 \sqrt{878})}^{2} + {(161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}|}{\sqrt{{(- 161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} \cdot \sqrt{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}}} \\ = \frac{5290^{2}}{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} \approx 0,3807 \end{array}$

Suy ra

((S A B), (S B C)) \approx {67,6}^{°}

. Vậy góc giữa hai mặt phắng (SAB) và (SBC) khoảng

{67,6}^{°}

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3,5; - 2;0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5;5,5;0)$ trên đường băng EG (Hình 37 ).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang $(O x y))$ có nằm trong phạm vi cho phép từ ${2,5}^{°}$ đến ${3,5}^{°}$ hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(5;0;0)$, $N(0; - 5;0),P(0;0;0,5)$. Tìm tọa độ của điểm $C$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm toạ độ của điểm $D$ trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m .

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E(3,5;6,5;0)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m . Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 560⁰E (hướng tạo với hướng nam góc 60⁰ và tạo với hướng đông góc 30⁰ ) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn súng trong không gian Oxyz. Cho biết trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia ${d^\prime }$ có phương trình lần lượt là:

$d:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = t}\\{y = 20}\\{z = 9}\end{array}} \right.$ và ${d^\prime }:\left\{ {\begin{array}{{20}{l}}{x = 10}\\{y = 20}\\{z = 1 + 3{t^\prime }.}\end{array}} \right.$

Xét vị trí tương đối giữa $d$ và ${d^\prime }$, chúng có vuông góc với nhau không?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong trò chơi mô phỏng bắn súng 3D trong không gian Oxyz, một xạ thủ đang ngắm với toạ độ khe ngắm và đầu ruồi lần lượt là $M(3;3;1,5),N(3;4;1,5)$. Viết phương trình tham số của đường ngắm bắn của xạ thủ (xem như đường thẳng MN).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý