Câu hỏi:

19/08/2025 11,441

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình 34. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ toạ độ phù hợp, các điểm $O$ (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0),A(3; - 4;2)$, $B( - 5; - 2;1)$, đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét.

Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng.

a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng.

b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 22 bài tập Một số dạng toán thực tế liên quan đến Phương trình đường thẳng (có lời giải) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Do điểm $C(0;0;5)$ nên $AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})$;

$BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}$

b) Ta có: $\overrightarrow {OA} = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 2;1)$ nên $[\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}$

Vì thế, vectơ $\vec n = (0;1;2)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(OAB)$.

Mặt khác, do $\overrightarrow {CA} = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC} = (5;2;4)$ nên ta có:

- $\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}$,

suy ra $(C A, (O A B)) \approx 50^{°}$ . Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng $50^{°}$ .

$- \sin (B C, (O A B)) = | \cos (\vec{B C}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{B C} \cdot \vec{n} |}{| \vec{B C} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| 5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 2 |}{3 \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{3},$

suy ra $(B C, (O A B)) \approx 42^{°}$ . Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng $42^{°}$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec u = (2; - 2;1)$ vởi tốc độ là $4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).

a) Viết phương trình đường cáp.

b) Giả sử sau $t(\;{\rm{s}})$ kể từ lúc xuất phát $(t \ge 0)$, cabin đến điểm $M$. Tìm tọa độ của điểm $M$.

c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ ${x_B} = 550$. Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).

d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?

Xem đáp án

Lời giải

a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: $\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}$.

b) Do tốc độ chuyển động của cabin là $4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ nên độ dài AM bằng $4,5t(\;{\rm{m}})$. Vì vậy $|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)$.

Do hai vectơ $\overrightarrow {AM} $ và $\vec u$ là cùng phương và cùng hướng nên $\overrightarrow {AM} = k\vec u$ với $k$ là số thực dương nào đó. Suy ra: $|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1} = 3k$. Do đó $3k = 4,5t$. Suy ra $k = \frac{{3t}}{2}$. Vì thế, ta có: $\overrightarrow {AM} = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

Gọi toạ độ của điểm $M$ là $\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)$.

Do $\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} = - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} = - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy điểm $M$ có toạ độ là $\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

c) Do ${x_B} = 550$ nên $3t + 10 = 550$, tức là $t = 180$ (s). Do đó, ta có điểm $B(550; - 537;270)$.

Vậy $AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}} = \sqrt {656100} = 810(\;{\rm{m}})$.

d) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec u = (2; - 2;1)$ và mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến

\vec{k} = (0; 0; 1)

Do đó, ta có:

\sin (Δ, (O x y)) = | \cos (\vec{u}, \vec{k}) | = \frac{| \vec{u} \cdot \vec{k} |}{| \vec{u} | \cdot | \vec{k} |} = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} .

Vậy

(Δ, (O x y)) \approx 19^{°}

Câu 2

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m , các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và (SBC).

Xem đáp án

Lời giải

Kim tự tháp Kheops ở Ai Câpp có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m (ảnh 2)

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Suy ra O là trung điếm của ${\rm{AC}},{\rm{BD}}$.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra $SO \bot AC$, $SO \bot BD$ nên $SO \bot (ABCD)$.

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vi ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên ${\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}} = 115\sqrt 2 $.

Xét tam giác SOB vuông tại $O$, có $SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}} = 7\sqrt {439} $

Ta có $A( - 115\sqrt 2 ;0;0),B(0; - 115\sqrt 2 ;0),C(115\sqrt 2 ;0;0),S(0;0;7\sqrt {439} )$

Ta có

\vec{S A} = (- 115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}), \vec{S B} = (0; - 115 \sqrt{2}; - 7 \sqrt{439})

\begin{array}{l} \vec{S C} = (115 \sqrt{2}; 0; - 7 \sqrt{439}) \\ Ta có [\vec{S A}, \vec{S B}] = (|\begin{matrix} 0 & - 7 \sqrt{439} \\ - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & - 115 \sqrt{2} \\ - 7 \sqrt{439} & 0 \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & 0 \\ 0 & - 115 \sqrt{2} \end{matrix}|) \\ = (- 805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450) \end{array}

[\vec{S B}, \vec{S C}] = (|\begin{matrix} - 115 \sqrt{2} & - 7 \sqrt{439} \\ 0 & - 7 \sqrt{439} \end{matrix}|, |\begin{matrix} - 7 \sqrt{439} & 0 \\ - 7 \sqrt{439} & 115 \sqrt{2} \end{matrix}|, |\begin{matrix} 0 & - 115 \sqrt{2} \\ 115 \sqrt{2} & 0 \end{matrix}|) = (805 \sqrt{878}; - 805 \sqrt{878}; 26450)

Mặt phắng (SAB) nhận $\vec{n} = \frac{1}{5} [\vec{S A}, \vec{S B}] = (- 161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phắng (SBC) nhận $\vec{n^{'}} = \frac{1}{5} [\vec{S B}, \vec{S C}] = (161 \sqrt{878}; - 161 \sqrt{878}; 5290)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l} \cos ((S A B), (S B C)) = \frac{|- {(161 \sqrt{878})}^{2} + {(161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}|}{\sqrt{{(- 161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} \cdot \sqrt{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}}} \\ = \frac{5290^{2}}{{(161 \sqrt{878})}^{2} + {(- 161 \sqrt{878})}^{2} + 5290^{2}} \approx 0,3807 \end{array}$

Suy ra

((S A B), (S B C)) \approx {67,6}^{°}

. Vậy góc giữa hai mặt phắng (SAB) và (SBC) khoảng

{67,6}^{°}

Câu 3

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3,5; - 2;0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5;5,5;0)$ trên đường băng EG (Hình 37 ).

a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang $(O x y))$ có nằm trong phạm vi cho phép từ ${2,5}^{°}$ đến ${3,5}^{°}$ hay không.

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(5;0;0)$, $N(0; - 5;0),P(0;0;0,5)$. Tìm tọa độ của điểm $C$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Tìm toạ độ của điểm $D$ trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m .

e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E(3,5;6,5;0)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m . Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m (Nguồn: R.Larson and B.Edwards, Calculus 10e, Cengage, 2014).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz , hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:

$Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z + 1}{3} và Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{1} .$

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 560⁰E (hướng tạo với hướng nam góc 60⁰ và tạo với hướng đông góc 30⁰ ) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

(H.vẽ) Xét tình huống sau:

Trong không gian Oxyz , mắt một người quan sát ở điếm ${\rm{M}}(2$; 3; -4) và vật cần quan sát đặt tại điếm ${\rm{N}}( - 1;0;8)$. Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm ${\rm{O}}(0;0;0)$, bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phắng Oxy .

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng (Oxy) .

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm $M$ và $N$ hay không?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán