Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A(10;3;0)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 2;1)\) vởi tốc độ là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).
a) Viết phương trình đường cáp.
b) Giả sử sau \(t(\;{\rm{s}})\) kể từ lúc xuất phát \((t \ge 0)\), cabin đến điểm \(M\). Tìm tọa độ của điểm \(M\).
c) Cabin dừng ở điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 550\). Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A(10;3;0)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (2; - 2;1)\) vởi tốc độ là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét) (Hình 35).
a) Viết phương trình đường cáp.
b) Giả sử sau \(t(\;{\rm{s}})\) kể từ lúc xuất phát \((t \ge 0)\), cabin đến điểm \(M\). Tìm tọa độ của điểm \(M\).
c) Cabin dừng ở điểm \(B\) có hoành độ \({x_B} = 550\). Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Phương trình chính tắc của đường cáp là: \(\frac{{x - 10}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\).
b) Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) nên độ dài AM bằng \(4,5t(\;{\rm{m}})\). Vì vậy \(|\overrightarrow {AM} | = 4,5t(t \ge 0)\).
Do hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\vec u\) là cùng phương và cùng hướng nên \(\overrightarrow {AM} = k\vec u\) với \(k\) là số thực dương nào đó. Suy ra: \(|\overrightarrow {AM} | = k|\vec u| = k \cdot \sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + 1} = 3k\). Do đó \(3k = 4,5t\). Suy ra \(k = \frac{{3t}}{2}\). Vì thế, ta có: \(\overrightarrow {AM} = \frac{{3t}}{2}\vec u = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
Gọi toạ độ của điểm \(M\) là \(\left( {{x_M};{y_M};{z_M}} \right)\).
Do \(\overrightarrow {AM} = \left( {{x_M} - {x_A};{y_M} - {y_A};{z_M} - {z_A}} \right) = \left( {3t; - 3t;\frac{{3t}}{2}} \right)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + {x_A}}\\{{y_M} = - 3t + {y_A}}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2} + {z_A}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_M} = 3t + 10}\\{{y_M} = - 3t + 3}\\{{z_M} = \frac{{3t}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy điểm \(M\) có toạ độ là \(\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)\).
c) Do \({x_B} = 550\) nên \(3t + 10 = 550\), tức là \(t = 180\) (s). Do đó, ta có điểm \(B(550; - 537;270)\).
Vậy \(AB = \sqrt {{{(550 - 10)}^2} + {{( - 537 - 3)}^2} + {{(270 - 0)}^2}} = \sqrt {656100} = 810(\;{\rm{m}})\).
d) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\vec u = (2; - 2;1)\) và mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyếnĐăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Do điểm \(C(0;0;5)\) nên \(AC = \sqrt {{{(3 - 0)}^2} + {{( - 4 - 0)}^2} + {{(2 - 5)}^2}} = \sqrt {34} (\;{\rm{m}})\);
\(BC = \sqrt {{{( - 5 - 0)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2} + {{(1 - 5)}^2}} = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 (\;{\rm{m}}){\rm{. }}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow {OA} = (3; - 4;2),\overrightarrow {OB} = ( - 5; - 2;1)\) nên \([\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4}&2\\{ - 2}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\1&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\{ - 5}&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (0; - 13; - 26){\rm{. }}\)
Vì thế, vectơ \(\vec n = (0;1;2)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((OAB)\).
Mặt khác, do \(\overrightarrow {CA} = (3; - 4; - 3),\overrightarrow {BC} = (5;2;4)\) nên ta có:
- \(\sin (CA,(OAB)) = |\cos (\overrightarrow {CA} ,\vec n)| = \frac{{|\overrightarrow {CA} \cdot \vec n|}}{{|\overrightarrow {CA} | \cdot |\vec n|}} = \frac{{|3 \cdot 0 + ( - 4) \cdot 1 + ( - 3) \cdot 2|}}{{\sqrt {34} \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{10}}{{\sqrt {170} }}\),
suy ra . Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng .
suy ra . Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng .
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Suy ra O là trung điếm của \({\rm{AC}},{\rm{BD}}\).
Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.
Suy ra \(SO \bot AC\), \(SO \bot BD\) nên \(SO \bot (ABCD)\).
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.
Vi ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên \({\rm{OA}} = {\rm{OB}} = {\rm{OC}} = {\rm{OD}} = 115\sqrt 2 \).
Xét tam giác SOB vuông tại \(O\), có \(SO = \sqrt {S{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{{219}^2} - {{(115\sqrt 2 )}^2}} = 7\sqrt {439} \)
Ta có \(A( - 115\sqrt 2 ;0;0),B(0; - 115\sqrt 2 ;0),C(115\sqrt 2 ;0;0),S(0;0;7\sqrt {439} )\)
Ta cóMặt phắng (SAB) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Mặt phắng (SBC) nhận làm vectơ pháp tuyến.
Do đó
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập