Trên mặt đất phả̉ng, người ta dựng một cây cột thẩng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O  trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉhh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng 560⁰E  (hướng tạo với hướng nam góc 60⁰  và tạo với hướng đông góc 30⁰ ) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gó́c toạ độ là O , tia Ox chi hướng nam, tia Oy chi hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trinh đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.

a) Đường thẳng AB đi qua điếm \({\rm{A}}(3,5; - 2;0,4)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = (0;7,5; - 0,4)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3,5}\\{y =  - 2 + 7,5t{\rm{ (t là tham số)}}{\rm{. }}}\\{z = 0,4 - 0,4t}\end{array}} \right.\)

Lưu ý: Ta có thế chọn điếm đi qua là \(B\) đế viết phương trình tham số hoặc có thế viết phương trinh chính tắc của đường thằng AB

b) Mặt phẳng nằm ngang (\({\rm{O}}x{\rm{y}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = (0;0;1)\).

Ta có \(\sin (AB,(Oxy)) = \frac{{|0 - 0 + 7,5 \cdot 0 + ( - 0,4) \cdot 1|}}{{\sqrt {{0^2} + {{(7,5)}^2} + {{( - 0,4)}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,053\).

Suy ra $(AB,(Oxy\left)\right)\approx 3^{°}\in \left({\mathrm{2,5}}^{°};{\mathrm{3,5}}^{°}\right)$ . Vậy góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

c) Ta có \(\overrightarrow {MN}  = ( - 5; - 5;0),\overrightarrow {MP}  = ( - 5;0;0,5)\).

Xét vectơ \(\quad \vec n = [\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\\0&{0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 5}\\{0,5}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&{ - 5}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right)\), hay \(\vec n = ( - 2,5;2,5; - 25)\)

Khi đó \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) hay chính là mặt phắng (a).

Phương trình mặt phắng (a) là: \( - 2,5(x - 5) + 2,5(y - 0) - 25(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0.\)

Vi C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây đế hạ cánh nên C là giao điếm của đường thẳng AB và mặt phắng \((a)\).

Vi \(C \in AB\) nên gọi tọa độ điếm C là \({\rm{C}}(3,5; - 2 + 7,5{\rm{t}};0,4 - 0,4{\rm{t}})\).

Lại có \(C \in ({\rm{a}})\) nên ta có \(3,5 - ( - 2 + 7,5{\rm{t}}) + 10(0,4 - 0,4{\rm{t}}) - 5 = 0\), suy ra \({\rm{t}} = \frac{9}{{23}}\).

Vậy \( \subset \left( {3,5;\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)\).

d) Vi \(D \in AB\) nên gọi tọa độ điếm \(D\) là \(D(3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t)\).

D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m , tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bẳng 120 m và bằng \(0,12\;{\rm{km}}\).

Ta có \({\rm{d}}({\rm{D}},({\rm{Oxy}})) = \frac{{\left| {0,4 - 0,4{t^\prime }} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| {0,4 - 0,4{t^\prime }} \right|\).

Khi đó, \(\left| {0,4 - 0,4{{\rm{t}}^\prime }} \right| = 0,12 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,4 - 0,4{t^\prime } = 0,12}\\{0,4 - 0,4{t^\prime } =  - 0,12}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 0,7}\\{{t^\prime } = 1,3}\end{array}} \right.} \right.\).

Với t' \( = 0,7\), ta có \(D(3,5;3,25;0,12)\).

Với t' \( = 1,3\), ta có \(D(3,5;7,75; - 0,12)\).

Vi D là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn D(3,5 ; 3,25 ; 0,12).

e) Ta có \(DE = \sqrt {{{(3,5 - 3,5)}^2} + {{(4,5 - 3,25)}^2} + {{(0 - 0,12)}^2}}  \approx 1,256(\;{\rm{km}})\)

Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là \(900\;{\rm{m}} = 0,9\;{\rm{km}} < 1,256\;{\rm{km}}\) nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.

Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;0;0),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (0;0;3)\)

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0\). Do đó d và d' vuông góc với nhau.