(H.vẽ) Xét tình huống sau:

Trong không gian Oxyz , mắt một người quan sát ở điếm \({\rm{M}}(2\); 3; -4) và vật cần quan sát đặt tại điếm \({\rm{N}}( - 1;0;8)\). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm \({\rm{O}}(0;0;0)\), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phắng Oxy .

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN

b) Tính tọa độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng (Oxy) .

c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm \(M\) và \(N\) hay không?

a) Đường thẳng AB đi qua điếm \({\rm{A}}(3,5; - 2;0,4)\) và nhận \(\overrightarrow {AB}  = (0;7,5; - 0,4)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3,5}\\{y =  - 2 + 7,5t{\rm{ (t là tham số)}}{\rm{. }}}\\{z = 0,4 - 0,4t}\end{array}} \right.\)

Lưu ý: Ta có thế chọn điếm đi qua là \(B\) đế viết phương trình tham số hoặc có thế viết phương trinh chính tắc của đường thằng AB

b) Mặt phẳng nằm ngang (\({\rm{O}}x{\rm{y}})\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = (0;0;1)\).

Ta có \(\sin (AB,(Oxy)) = \frac{{|0 - 0 + 7,5 \cdot 0 + ( - 0,4) \cdot 1|}}{{\sqrt {{0^2} + {{(7,5)}^2} + {{( - 0,4)}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,053\).

Suy ra $(AB,(Oxy\left)\right)\approx 3^{°}\in \left({\mathrm{2,5}}^{°};{\mathrm{3,5}}^{°}\right)$ . Vậy góc trượt nằm trong phạm vi cho phép.

c) Ta có \(\overrightarrow {MN}  = ( - 5; - 5;0),\overrightarrow {MP}  = ( - 5;0;0,5)\).

Xét vectơ \(\quad \vec n = [\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&0\\0&{0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 5}\\{0,5}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5}&{ - 5}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right)\), hay \(\vec n = ( - 2,5;2,5; - 25)\)

Khi đó \(\vec n\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) hay chính là mặt phắng (a).

Phương trình mặt phắng (a) là: \( - 2,5(x - 5) + 2,5(y - 0) - 25(z - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y + 10z - 5 = 0.\)

Vi C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây đế hạ cánh nên C là giao điếm của đường thẳng AB và mặt phắng \((a)\).

Vi \(C \in AB\) nên gọi tọa độ điếm C là \({\rm{C}}(3,5; - 2 + 7,5{\rm{t}};0,4 - 0,4{\rm{t}})\).

Lại có \(C \in ({\rm{a}})\) nên ta có \(3,5 - ( - 2 + 7,5{\rm{t}}) + 10(0,4 - 0,4{\rm{t}}) - 5 = 0\), suy ra \({\rm{t}} = \frac{9}{{23}}\).

Vậy \( \subset \left( {3,5;\frac{{43}}{{46}};\frac{{28}}{{115}}} \right)\).

d) Vi \(D \in AB\) nên gọi tọa độ điếm \(D\) là \(D(3,5; - 2 + 7,5t;0,4 - 0,4t)\).

D là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m , tức là khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bẳng 120 m và bằng \(0,12\;{\rm{km}}\).

Ta có \({\rm{d}}({\rm{D}},({\rm{Oxy}})) = \frac{{\left| {0,4 - 0,4{t^\prime }} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \left| {0,4 - 0,4{t^\prime }} \right|\).

Khi đó, \(\left| {0,4 - 0,4{{\rm{t}}^\prime }} \right| = 0,12 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,4 - 0,4{t^\prime } = 0,12}\\{0,4 - 0,4{t^\prime } =  - 0,12}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{t^\prime } = 0,7}\\{{t^\prime } = 1,3}\end{array}} \right.} \right.\).

Với t' \( = 0,7\), ta có \(D(3,5;3,25;0,12)\).

Với t' \( = 1,3\), ta có \(D(3,5;7,75; - 0,12)\).

Vi D là vị trí độ cao của máy bay nên ta chọn D(3,5 ; 3,25 ; 0,12).

e) Ta có \(DE = \sqrt {{{(3,5 - 3,5)}^2} + {{(4,5 - 3,25)}^2} + {{(0 - 0,12)}^2}}  \approx 1,256(\;{\rm{km}})\)

Vì tầm nhìn xa của phi công sau khi ra khỏi đám mây là \(900\;{\rm{m}} = 0,9\;{\rm{km}} < 1,256\;{\rm{km}}\) nên người phi công đó không đạt được quy định an toàn bay.

Đường thắng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1;0;0),\overrightarrow {{a^\prime }}  = (0;0;3)\)

Ta có \(\vec a \cdot \overrightarrow {{a^\prime }}  = 1.0 + 0.0 + 0.3 = 0\). Do đó d và d' vuông góc với nhau.