Tìm tất cả giá trị của tham số \[m\] để phương trình \[{x^2} - mx + 3 - m = 0\] có hai nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\] thỏa mãn đẳng thức \[x_1^2 + x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8.\]

Xét phương trình \[{x^2} - mx + 3 - m = 0\].

Phương trình trên có \(\Delta = {\left( { - m} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {3 - m} \right) = {m^2} - 12 + 4m.\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta > 0,\) tức là \({m^2} + 4m - 12 > 0.\)

Giải bất phương trình:

\({m^2} + 4m - 12 > 0\)

\({m^2} - 2m + 6m - 12 > 0\)

\(m\left( {m - 2} \right) + 6\left( {m - 2} \right) > 0\)

\(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 6} \right) > 0\)

⦁ Trường hợp 1: \(m - 2 > 0\) và \(m + 6 > 0\)

\(m > 2\) và \(m > - 6\)

\(m > 2.\)

⦁ Trường hợp 2: \(m - 2 < 0\) và \(m + 6 < 0\)

\(m < 2\) và \(m < - 6\)

\(m < - 6.\)

Như vậy, để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(m > 2\) hoặc \(m < - 6.\)

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = m;\,\,{x_1}{x_2} = 3 - m.\)

Ta có: \[x_1^2 + x_2^2 + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\]

 \[x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\]

 \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 8\)

 \({m^2} - 2 \cdot \left( {3 - m} \right) + 3 \cdot m = 8\)

 \({m^2} - 6 + 2m + 3m = 8\)

 \({m^2} + 5m - 14 = 0\)

 \({m^2} - 2m + 7m - 14 = 0\)

 \(m\left( {m - 2} \right) + 7\left( {m - 2} \right) = 0\)

 \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 7} \right) = 0\)

 \(m - 2 = 0\) hoặc \(m + 7 = 0\)

 \(m = 2\) (loại) hoặc \(m = - 7\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 7.\)