C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.

Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong \(x\) (tháng) được tính theo công thức \(S\left( x \right) = 500\left( {3 - \frac{7}{{3 + x}}} \right)\), trong đó \(x \ge 1\). Số lượng sản phẩm được bán của công ty đó trong \(x\) (tháng) khi \(x\) đủ lớn gần bằng bao nhiêu?

Theo hình vẽ ta có các vectơ \[\overrightarrow {AS} ,\,\overrightarrow {BS} ,\,\overrightarrow {CS} ,\,\overrightarrow {DS} \] biểu thị các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} ,\,\overrightarrow {{F_4}} \).

Khi đó, \(\overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {AS} + \,\overrightarrow {BS} + \,\overrightarrow {CS} + \,\overrightarrow {DS} \)

\( = - \left( {\overrightarrow {SA} + \,\overrightarrow {SB} + \,\overrightarrow {SC} + \,\overrightarrow {SD} } \right) = - \left[ {\left( {\overrightarrow {SA} + \,\overrightarrow {SC} } \right) + \,\left( {\overrightarrow {SB} + \,\overrightarrow {SD} } \right)} \right]\)

\( = - \left( {2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} } \right) = - 4\overrightarrow {SO} \).

Vì các đoạn dây cáp có độ dài bằng nhau và góc tạo bởi hai đoạn dây cáp đối diện nhau là 60° nên tam giác \[SAC\] cân và \[\widehat {ASC} = 60^\circ \], do đó tam giác \[SAC\] đều, suy ra \[SO = SA \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\].

Khi đó, \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 4SO = 4 \cdot SA \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4 \cdot 5\,000 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\,000\sqrt 3 \,\,{\rm{(N)}}{\rm{.}}\)

Ta có \[\overrightarrow P = m \cdot \overrightarrow g \], suy ra \[P = m \cdot g = 10m\].

Để cần cẩu nâng được thùng hàng thì \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} } \right| \ge P\).

Suy ra \(10\,000\sqrt 3 \ge 10m \Rightarrow m \le 1\,000\sqrt 3 \,\,{\rm{(kg)}}\).

Vậy \(m \le 1\,000\sqrt 3 \,\,{\rm{(kg)}}\).

Gọi \(x\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là cạnh đáy của chiếc thùng \(\,\left( {x > 0} \right)\).

Khi đó diện tích đáy thùng là \(x{\,^2}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Vì thể tích thùng là \(2000\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên chiều cao hộp là \(h = \frac{{2000}}{{{x^2}}}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Tổng diện tích các bề mặt của chiếc thùng là: \(S = 2{x^2} + 4xh = \,\,2{x^2} + \frac{{8000}}{x}\,\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Ta có \(S' = 4x - \frac{{8000}}{{{x^2}}}\,\, = \frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}};\,\,\,S'\, = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt[3]{2}\).

Bằng cách bảng biến thiên, dễ thấy diện tích bề mặt thùng nhỏ nhất khi cạnh đáy của thùng là \(10\sqrt[3]{2}\) và chiều cao của thùng là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\).

Vậy nguyên liệu để sản xuất chiếc thùng là ít nhất khi chiều cao thùng là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\,\,{\rm{cm}}.\)