Nam thực hiện liên tiếp hai thí nghiệm. Thí nghiệm thứ nhất có xác suất thành công là \(0,7\). Nếu thí nghiệm thứ nhất thành công thì xác suất thành công của thí nghiệm thứ hai là \(0,9\). Nếu thí nghiệm thứ nhất không thành công thì xác suất để thành công thí nghiệm thứ hai là \(0,4\).

a) Xác suất thí nghiệm thứ nhất không thành công là \(0,3\).

Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{22}} = \frac{5}{{11}};\,P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{5}{{11}} = \frac{6}{{11}}.\)

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu xanh thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 9 quả bóng màu xanh, suy ra \(P\left( {B|A} \right) = \frac{9}{{21}} = \frac{3}{7}.\)

Nếu lần thứ nhất lấy được quả bóng màu đỏ thì còn lại 21 quả bóng, trong đó có 10 quả bóng màu xanh, suy ra \(P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{{10}}{{21}}\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{{11}}.\frac{3}{7} + \frac{6}{{11}}.\frac{{10}}{{21}} = \frac{5}{{11}}\).

Ta có:

 \(\begin{array}{l}P\left( A \right) = 0,65;\,P\left( {\overline A } \right) = 0,35;\,P\left( {B|A} \right) = 1 - P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98;\\P\left( {B|\overline A } \right) = 1 - P\left( {\overline B |\overline A } \right) = 1 - 0,03 = 0,97.\end{array}\)

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right)P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right)P\left( {B|\overline A } \right) = 0,65.0,98 + 0,35.0,97 = 0,9765\).