Tại một địa phương có 500 người cao tuổi, bao gồm 260 nam và 240 nữ. Trong nhóm người cao tuổi nam và nữ lần lượt có \(40\% \) và \(55\% \) bị bệnh tiểu đường. Chọn ngẫu nhiên một người. Xác suất để chọn được một người không bị bệnh tiểu đường là bao nhiêu?

Xét các biến cố: \(A\): "Lấy được 1 chính phẩm từ thùng I sang thùng II";

   \(B\): "Lây được 1 chính phẩm từ thùng II".

Khi đó, \(P\left( A \right) = \frac{5}{9};\,\,P\left( {\overline A } \right) = \frac{4}{9};\,\,P\left( {B|A} \right) = \frac{7}{{15}};\,\,P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{6}{{15}} = \frac{2}{5}\).

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố \(B\) là: \(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right) = \frac{5}{9}.\frac{7}{{15}} + \frac{4}{9}.\frac{2}{5} \approx 0,44\).

- Gọi \(A\) là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra là loại một"; \({B_1},{B_2},{B_3}\) lần lượt là sự kiện "sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I, II và III sản xuất".

- Hệ \(\left\{ {{B_1},{B_2},{B_3}} \right\}\) tạo thành một hệ đầy đủ với \(P\left( {{B_1}} \right) = 0,2,P\left( {{B_2}} \right) = 0,5\) và \(P\left( {{B_3}} \right) = 0,3\).

- Áp dụng công thức xác suất đầy đủ với \(P\left( {A\mid {B_1}} \right) = 0,7,P\left( {A\mid {B_2}} \right) = 0,8\) và \(P\left( {A\mid {B_3}} \right) = 0,6\) ta nhận được

\(\begin{array}{l}P(A) = P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\mid {B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right)P\left( {A\mid {B_2}} \right) + P\left( {{B_3}} \right)P\left( {A\mid {B_3}} \right)\\{\rm{         }} = 0,2 \times 0,7 + 0,5 \times 0,8 + 0,3 \times 0,6 = 0,72 = 72\% \end{array}\)