Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 1; 5), C(2; 4; 2).

a) Tọa độ trung điểm của AB là \(\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)\).

b) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \left( {5;7;10} \right)\).

c) Góc giữa hai đường thẳng AB và AC bằng 30°.

d) Điểm I(a; b; c) nằm trên mặt phẳng (Oxz) thỏa mãn \(T = \left| {3\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó a – 2b + 2c = 15.

a) Tọa độ trung điểm của AB là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{2 + 1}}{2};\frac{{3 + 5}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};4} \right)\).

b) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \left( {5;7;10} \right)\).

c) \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {1;2; - 1} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{1.1 + \left( { - 1} \right).2 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 3}}{6} = \frac{{ - 1}}{2}\).

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 120^\circ \).

Do đó góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 60°.

d) Vì I Î (Oxz) nên I(a; 0; c).

Suy ra \(\overrightarrow {IB}  = \left( {2 - a;1;5 - c} \right),\overrightarrow {IC}  = \left( {2 - a;4;2 - c} \right)\)\( \Rightarrow 3\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  = \left( {4 - 2a; - 1;13 - 2c} \right)\).

Khi đó \(\left| {3\overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{{\left( {4 - 2a} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {13 - 2c} \right)}^2}}  \ge 1\).

Dấu bằng xảy ra khi a = 2; \(c = \frac{{13}}{2}\).

Khi đó a – 2b + 2c = 15.

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;   d) Đúng.