Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow {DM}  = \frac{{\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).

b) \(\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \frac{{{a^2}}}{4}\).

d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng  \(60^\circ \).

a) \(\overrightarrow {DM}  = \frac{{\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DM}  = \frac{{\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\)

b) \(\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\),\(\overrightarrow {AM}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4}\)

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4})\)\( = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}\)

d) \[\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \],\(\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4}\)

Vậy \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = (\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4})\]

\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\]

\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0\] .

Vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng  \(90^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.