Câu hỏi:

25/08/2025 32 Lưu

Cho hình chóp \[ABCD\] có \[AB,AC,AD\] đôi một vuông góc, cạnh \[AB = AC = a\] ,\[M\] là trung điểm của \[CB\],\[H\] là trung điểm của \[MD\]. Các mệnh đề dưới đây đúng hay sai?

a) \(\overrightarrow {DM}  = \frac{{\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).

b) \(\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \frac{{{a^2}}}{4}\).

d) Góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng  \(60^\circ \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
a) \(\overrightarrow {DM}  = \frac{{\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\).  b) \(\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AD} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{4}\). (ảnh 1)

a) \(\overrightarrow {DM}  = \frac{{\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {{\rm{DC}}} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DM}  = \frac{{\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {{\rm{CD}}} }}{{ - 2}}\)

b) \(\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\),\(\overrightarrow {AM}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{{\frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{2} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4}\)

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AB} .(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4})\)\( = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\)\( = \frac{{A{B^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{4}\)

d) \[\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \],\(\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4}\)

Vậy \[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = (\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ).(\frac{{\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{4})\]

\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {A{\rm{D}}} }}{2} + \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} }}{2} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{4}\]

\[\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH}  = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }}{4} - \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} }}{4} = 0\] .

Vậy góc giữa vectơ \[\overrightarrow {AH} \] và \(\overrightarrow {BC} \) bằng  \(90^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;   b) Sai;   c) Đúng;   d) Sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cả hai lực tạo với nhau một góc 80° là \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \), ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 50N\).

Lực còn lại là \(\overrightarrow {{F_3}} \), ta có \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 60N\).

Gọi \(\overrightarrow F \) là hợp lực của ba lực trên ta có:

\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}} \)

\( = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2} + 2\left( {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_3}} } \right) + \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right)} \right)} \)

\( = \sqrt {{{50}^2} + {{50}^2} + {{60}^2} + 2\left( {50.50.\cos 80^\circ  + 50.60.\cos 60^\circ  + 60.50.\cos 60^\circ } \right)}  \approx 124\) N.

Trả lời: 124.

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(−3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM bằng

A. \(3\sqrt 3 \).                 

B. \(2\sqrt 7 \).             
C. \(\sqrt {30} \).          
D. \(\sqrt {29} \).

Lời giải

Gọi M(x; y; z) là điểm nằm trên cạnh BC sao cho MC = 2MB Þ \(\overrightarrow {MC}  =  - 2\overrightarrow {MB} \).

Ta có \(\overrightarrow {MC}  = \left( { - 3 - x;6 - y;4 - z} \right),\overrightarrow {MB}  = \left( { - x;3 - y;1 - z} \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = 2x\\6 - y =  - 2\left( {3 - y} \right)\\4 - z =  - 2\left( {1 - z} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 4\\z = 2\end{array} \right.\)Þ M(−1; 4; 2).

Ta có \(AM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {4^2} + {2^2}}  = \sqrt {29} \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

A. DABC cân.  

B. DABC có 3 góc nhọn.           

C. DABC vuông.     
D. DABC đều.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

A. \(ON = 6\sqrt 2 \).        

B. \(ON = 5\sqrt 2 \).   
C. \(ON = 7\sqrt 2 \).   
D. \(ON = 3\sqrt 2 \).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP