Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC,\;E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I.\) Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(HC,\;CE.\) Gọi \(G,\;K\) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(AM,\;AN\) với \(HE.\) Biết rằng \(AC = 12\;{\rm{cm,}}\) độ dài đoạn thẳng \(GK\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm?}}\)
Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC,\;E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I.\) Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(HC,\;CE.\) Gọi \(G,\;K\) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(AM,\;AN\) với \(HE.\) Biết rằng \(AC = 12\;{\rm{cm,}}\) độ dài đoạn thẳng \(GK\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm?}}\)
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án: \(4\)

Vì \(E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(HE.\)
Tứ giác \(AHCE\) có: \(I\) là trung điểm của cả hai đường chéo \(AC\) và \(HE\) nên tứ giác \(AHCE\) là hình bình hành.
Mà \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\)) nên tứ giác \(AHCE\) là hình chữ nhật.
Tam giác \(AHC\) có \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(HI,\;AM\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AHC.\) Do đó, \(HG = \frac{2}{3}HI,\;IG = \frac{1}{2}HG.\)
Tam giác \(AEC\) có \(K\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(AN,\;EI\) nên \(G\) là trọng tâm của tam giác \(AEC.\) Do đó, \(EK = \frac{2}{3}EI,\;IK = \frac{1}{2}EK.\)
Vì \(EK = \frac{2}{3}EI,\;HG = \frac{2}{3}HI,\;HI = EI\) nên \(HG = EK\;\left( 1 \right).\)
Lại có: \(IG = \frac{1}{2}HG,\;IK = \frac{1}{2}EK,\;HG = EK\) nên \(IG = IK = \frac{1}{2}HG.\)
Ta có: \(GK = IG + IK = \frac{1}{2}HG + \frac{1}{2}HG = HG\;\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(HG = GK = KE.\) Mà \(HG + GK + KE = HE\) nên \(GK = \frac{1}{3}HE.\)
Vì tứ giác \(AHCE\) là hình chữ nhật nên \(HE = AC = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Do đó, \(GK = \frac{1}{3}HG = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vậy \(GK = 4\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat A = 90^\circ \) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật. Do đó, \(AC = BD.\)
Lời giải

a) Đúng.
Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD.\)
b) Sai.
Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAO} + \widehat {OAB} = 90^\circ .\)
Theo đề bài: \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB}\) nên \(\widehat {OAB} + 2\widehat {OAB} = 90^\circ .\) Suy ra \(3\widehat {OAB} = 90^\circ ,\) nên \(\widehat {OAB} = 30^\circ .\)
c) Sai.
Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OC = OD.\) Do đó, tam giác \(COD\) cân tại \(O.\)
Do đó, \(OH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta COD.\) Suy ra \(HC = \frac{1}{2}DC.\)
d) Đúng.
Vì \(\widehat {OAB} = 30^\circ \) nên \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ .\)
Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OD.\) Do đó, tam giác \(AOD\) cân tại \(O.\)
Mà \(\widehat {OAD} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
