Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC,\;E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(I.\) Gọi \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(HC,\;CE.\) Gọi \(G,\;K\) lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(AM,\;AN\) với \(HE.\) Biết rằng \(AC = 12\;{\rm{cm,}}\) độ dài  đoạn thẳng \(GK\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm?}}\)

a) Đúng.

Vì \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM,\;CN\) của \(\Delta ABC\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

b) Sai.

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC,\;\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AM = MC = \frac{1}{2}AC.\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AN = NB = \frac{1}{2}AB.\)

Do đó, \(AN = NB = AM = MC.\)

Tam giác \(BMC\) và tam giác \(CNB\) có: \(\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\;\left( {cmt} \right),\;MC = BN\;\left( {cmt} \right),\;BC\;{\rm{chung}}{\rm{.}}\)

Do đó, \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {c - g - c} \right).\)

c) Đúng.

Vì \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {cmt} \right)\) nên \(BM = CN.\)

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GC = \frac{2}{3}CN,\;BG = \frac{2}{3}BM.\) Suy ra: \(GB = GC.\)

Mà \(GD = GB,\;GE = GC\) nên \(GD = GB = GE = GC.\) Suy ra: \(EG + GC = BG + GD\) hay \(BD = CE.\)

d) Đúng.

Tứ giác \(BEDC\) có hai đường chéo \(CE,\;BD\) cắt nhau tại \(G;\;\) \(G\) vừa là trung điểm của \(BD\) vừa là trung điểm của \(EC.\) Do đó, tứ giác \(BEDC\) là hình bình hành. Mà \(BD = CE\) nên tứ giác \(BEDC\) là hình chữ nhật. Do đó, \(\widehat {EBC} = 90^\circ .\)

a) Sai.

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ .\) Do đó, tam giác \(AHC\) vuông tại \(H.\) Mà \(HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC.\) Do đó, \(HM = \frac{1}{2}AC.\)

b) Đúng.

Tứ giác \(AHCN\) có: \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC,\;HN;\) \(M\) là trung điểm của \(AC,\;M\) là trung điểm của \(HN.\) Do đó, tứ giác \(AHCN\) là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật.

c) Đúng.

Vì tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ .\)

d) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AH = NC,\;AN = HC.\)

Vì diện tích tam giác \(AHC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên: \(\frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Diện tích tam giác \(ANC\) vuông tại \(N\) là: \(S = \frac{1}{2}AN \cdot NC = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot HC = 20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Vậy diện tích tam giác \(ANC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)