Rút gọn biểu thức

\[A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos 1,5\pi - \cos \left( {\alpha + \frac{{2003\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)\]

ta được kết quả là \(a\sin \alpha + b\cos \alpha \)\(\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó \(3a + b\) bằng bao nhiêu?

a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\).

b) Sai. Ta có \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = - \cos 2x\).

Do đó \(y\left( { - x} \right) = - \cos \left( { - 2x} \right) = - \cos 2x = y\left( x \right)\). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Đúng. Ta có \(y = - \cos 2x\) nên hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \).

d) Sai. Đặt \(t = 2x\). Hàm số đã cho trở thành \(f\left( t \right) = - \cos t\).

Vì \(x \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\).

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right) = - \cos t\):

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\).

Gọi \({u_1}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ nhất, ta có \({u_1} = 150\); \({v_1}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ nhất, ta có: \({v_1} = 150 \cdot 0,6 = 90\).

\({u_2}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ hai, ta có \({u_2} = {v_1} = 0,6{u_1}\); \({v_2}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ hai, ta có: \({v_2} = 0,6{u_2} = 0,6{v_1}\).

Như vậy, ta có hai cấp số nhân đều có công bội \(0,6\) là: \({u_1},{u_2},..,{u_{15}}\) và \({v_1},{v_2},..,{v_{15}}\) với \({u_1} = 150\) và \({v_1} = 90.\)

Ta có \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = 150 \cdot \left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\); \({v_1} + {v_2} + ... + {v_{15}} = 90 \cdot \left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\).

Vậy quãng đường người đó đi được sau 15 lần rơi xuống và lại được kéo lên (tính từ lúc bắt đầu nhảy) là:

\(\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}}} \right) + \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_{15}}} \right) = 240 \cdot \left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right) \approx 600\left( {\rm{m}} \right).\)