Cho hình thang cân \(ABCD\;\left( {AB\;{\rm{//}}\;CD} \right)\) có \(AB = 6\;{\rm{cm;}}\;CD = 12\;{\rm{cm}}.\) Kẻ \(AM \bot DC\) tại \(M\) và \(BN \bot DC\) tại \(N.\) Độ dài đoạn thẳng \(DN\) bằng bao nhiêu \({\rm{cm}}?\)

Đáp án: \(90\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC,\;AC = BD,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Tam giác \(ABD\) và tam giác \(BAC\) có: \(AD = BC,\;AC = BD,\;AB\) chung.

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta BAC\;\left( {c - c - c} \right).\) Suy ra, \(\widehat {ABP} = \widehat {BAP}\) nên tam giác \(APB\) cân tại \(P.\)

Suy ra: \(AP = PB.\) Do đó, điểm \(P\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 1 \right).\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {QAB},\;\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các góc đồng vị).

Lại có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}.\) Do đó, tam giác \(QAB\) cân tại \(Q.\)

Suy ra \(QA = QB.\) Do đó, điểm \(Q\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(PQ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

Suy ra: \(PQ \bot AB\) tại \(I.\) Vậy \(\widehat {QIB} = 90^\circ .\)

a) Sai.

Tứ giác \(ABCD\) có: \[\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \] (tổng các góc trong một tứ giác).

\[\widehat B + \widehat D = 360^\circ - \widehat A - \widehat C = 360^\circ - 125^\circ - 35^\circ = 200^\circ .\] Vậy \[\widehat B + \widehat D = 200^\circ .\]

b) Sai.

Vì \(\widehat B - \widehat D = 90^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat D + 90^\circ .\)

Mà \[\widehat B + \widehat D = 200^\circ \] nên \[\widehat D + 90^\circ + \widehat D = 200^\circ \] suy ra \(2\widehat D = 110^\circ .\) Vậy \(\widehat D = 55^\circ .\)

c) Đúng.

Ta có: \(\widehat B = 55^\circ + 90^\circ = 145^\circ .\)

Kẻ \(Am\) là tia đối của tia \(AD.\)

Ta có: \(\widehat {DAB} + \widehat {BAm} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BAm} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ .\)

Vì \(\widehat {BAm} = \widehat {ADC}\left( { = 55^\circ } \right),\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

d) Sai.

Vì hình thang \(ABCD\) không có hai góc kề một đáy bằng nhau nên hình thang \(ABCD\) không phải là hình thang cân.