Tính diện tích hình bình hành \(ABCD\) có đường chéo \(AC\) vuông góc với cạnh \(AD.\) Biết rằng \(AC = 12\;{\rm{cm}}{\rm{,}}\;AD = 9\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) (Đơn vị: \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\)).

a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD,\;AD = BC,\;AD\;{\rm{//}}\;BC.\)

Vì \(AD\;{\rm{//}}\;BC\) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC}\) (hai góc so le trong).

b) Đúng.

Vì \(H,\;K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,\;C\) trên \(BD\) nên \(AH \bot BD,\;CK \bot BD.\)

Do đó, \(\widehat {DHA} = \widehat {BKC} = 90^\circ .\)

Tam giác \(DHA\) và tam giác \(BKC\) có: \(\widehat {DHA} = \widehat {BKC} = 90^\circ ,\;DA = BC\;\left( {cmt} \right),\;\widehat {ADB} = \widehat {DBC}\;\left( {cmt} \right).\)

Do đó, \(\Delta DHA = \Delta BKC\;\left( {ch - gn} \right).\)

c) Đúng.

Vì \(\Delta DHA = \Delta BKC\;\left( {cmt} \right)\) nên \(AH = KC.\)

Tứ giác \(AKCH\) có: \(AH = KC,\;AH\;{\rm{//}}\;KC\) (cùng vuông góc với \(BD\)) nên tứ giác \(AKCH\) là hình bình hành.

d) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\widehat {DAB} = \widehat {DCB}.\)

Vì \(\Delta DHA = \Delta BKC\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {DAH} = \widehat {KCB}\) (hai góc tương ứng).

Vì tứ giác \(AKCH\) là hình bình hành nên \(\widehat {HAK} = \widehat {HCK}.\)

Do đó, \(\widehat {DAB} - \widehat {DAH} - \widehat {HAK} = \widehat {DCB} - \widehat {KCB} - \widehat {HCK},\) suy ra \(\widehat {KAB} = \widehat {HCD}.\)