Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB = CD,\;AB\;{\rm{//}}\;CD,\;AB = 2AD.\) Gọi \(E,\;F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\;DC.\)

         a) Tứ giác \(ABCD\) là hình thoi.

         b) \(AE = AD.\)

         c) Tứ giác \(AEFD\) là hình thoi.

         d) Diện tích tứ giác \(ABCD\) gấp hai lần diện tích tứ giác \(AEFD\).

a) Sai.

Tứ giác \(ABCD\) có: \(AB = CD,\;AB\;{\rm{//}}\;CD.\) Do đó, tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

b) Đúng.

Vì \(E\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB = 2AE.\) Mà \(AB = 2AD\;\left( {gt} \right)\) nên \(AE = AD.\)

c) Đúng.

Vì \(F\) là trung điểm của \(CD\) nên \(CD = 2DF.\) Mà \(AB = CD\;\left( {gt} \right),\;AB = 2AE\;\left( {cmt} \right)\) nên \(AE = DF.\)

Tứ giác \(AEFD\) có: \(AE = DF,\;AE\;{\rm{//}}\;DF\) nên tứ giác \(AEFD\) là hình bình hành.

Mà \(AE = AD\;\left( {cmt} \right)\) nên tứ giác \(AEFD\) là hình thoi.

d) Đúng.

Ta chứng minh được \(EBCF\) là hình thoi.

Nhận thấy, hai hình thoi \(EBCF\) và \(AEFD\) có độ dài các cạnh bằng nhau.

Do đó, \({S_{EBCF}} = {S_{AEFD}}\).

Lại có, \({S_{EBCF}} + {S_{AEFD}} = {S_{ABCD}}\) hay \(2{S_{EBCF}} = {S_{ABCD}}\) nên \({S_{AEFD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\).

Vậy diện tích tứ giác \(ABCD\) gấp hai lần diện tích tứ giác \(AEFD\).