Câu hỏi:

20/09/2025 27 Lưu

Cho tam giác \(ABC\)\(AB < AC,\) \(AI\) là đường cao và 3 điểm \(D,\,\,\,E,\,\,\,F\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB,\,\,\,AC,\,\,\,BC.\) Lấy \(J\) sao cho \(E\) là trung điểm \[IJ.\]

     a) Tứ giác \[AICJ\] là hình gì? Vì sao?

     b) Chứng minh tứ giác \(DEFI\) là hình thang cân.

     c) \(EB\)\(FD\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh hai tứ giác \(ADKE\)\(KECF\) có diện tích bằng nhau.

     d) Tìm điều kiện của tam giác \(ABC\) để tứ giác \(BDEF\) là hình thoi, là hình vuông.

     e) Giả sử \(DF \bot IE\). Chứng minh: \(DE + IF = AI\).

     g) Gọi \(H\), \(G\) lần lượt là trung điểm của \(BI\)\(IC\). Chứng minh: \(HE = DG\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Tứ giác AICJ là hình gì? Vì sao? (ảnh 1)

a) Tứ giác \[AICJ\] có hai đường chéo \(AC\)\(IJ\) cắt nhau tại trung điểm của \[E\] của mỗi đường nên tứ giác \[AICJ\] là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Lại có \[\widehat {AIC} = 90^\circ \] (vì \(AI\) là đường cao của tam giác \(ABC)\)

Suy ra tứ giác \[AICJ\] là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

b) Xét \(\Delta ABC\)\(D,\,\,E\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AC\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DE = \frac{1}{2}BC\)\(DE\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất đường trung bình).

\(I,\,\,F \in BC\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,IF.\)

Suy ra tứ giác \(DEFI\) là hình thang.

Xét tam giác \(AIC\) vuông tại \(I,\)\(IE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(IE = AE = EC = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (1)

Xét \(\Delta ABC\)\(D,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) nên \(DF\) là đường trung bình của tam giác. Do đó \(DF\,{\rm{//}}\,AC\)\(DF = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(IE = DF\left( { = \frac{1}{2}AC} \right).\)

Hình thang \(DEFI\) có hai đường chéo \(IE = DF\) nên \(DEFI\) là hình thang cân.

c) Vì \(F\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BF = FC = \frac{1}{2}BC\).

\(DE = \frac{1}{2}BC\) (chứng minh ở câu b)

Suy ra \(DE = BF.\)

Xét tứ giác \(BDEF\)\(DE\,{\rm{//}}\,BF\) (do \(DE\,{\rm{//}}\,BC)\)\(DE = BF\) nên \(BDEF\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \(EB\)\(FD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra \(K\) là trung điểm của \(FD\). Do đó \(DK = KF.\)

Ta có \(DF\,{\rm{//}}\,AC\) , mà \(K \in DF,\,\,E \in AC\) nên \(DK\,{\rm{//}}\,AE,\,\,KF\,{\rm{//}}\,EC\)

Do đó hai tứ giác \(ADKE\)\(KECF\) là hình thang.

Từ \(K\) kẻ \(KM \bot AC.\) Khi đó \(KM\) là chiều cao của hình thang \(ADKE\)\(KECF.\)

Ta có: \({S_{ADKE}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {DK + AE} \right);\) \[{S_{KECF}} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot \left( {KF + EC} \right).\]

\(DK = KF\) (chứng minh trên) và \(AE = EC\) (do \(E\) là trung điểm của \(AC)\)

Suy ra \({S_{ADKE}} = {S_{KECF}}\)

Vậy hai tứ giác \(ADKE\)\(KECF\) có cùng diện tích.

d) Tứ giác \(BDEF\)\(DE\,{\rm{//}}\,BF\)\(DE = BF\,\,\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\) nên \(BDEF\) là hình bình hành.

Để hình bình hành \(BDEF\) là hình thoi thì \(BD = DE\).

\(DE = \frac{1}{2}BC\)\(BD = \frac{1}{2}AB\) nên suy ra cần điều kiện \(BC = AB\), tức là \(\Delta ABC\) cân tại \(B\).

Để hình bình hành \(BDEF\) là hình vuông thì \(BDEF\) là hình thoi và \(\widehat {DBF} = 90^\circ \), tức là \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B.\)

e) Vì \(D,\,\,F\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BC\) nên \(DF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), suy ra \(DF\,{\rm{//}}\,AC\).  

\(DF \bot IE\) nên \(IE \bot AC\).

Xét \(\Delta AIC\) vuông tại \(I\)\(IE\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(\Delta AIC\) cân tại \(I\).

Do đó \(AI = IC = IF + FC.\)

\(DE = \frac{1}{2}BC\)\(FC = \frac{1}{2}BC\) nên \(DE = FC.\)

Khi đó, \(AI = IF + DE.\)

g) Xét \(\Delta AIB\)\(D,\,\,H\) lần lượt là đường điểm của \(AB,\,\,BI\) nên \(DH\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(DH\,{\rm{//}}\,AI\)\(DH = \frac{1}{2}AI\). (3)

Tương tự, ta có \(EG\,{\rm{//}}\,AI\)\(EG = \frac{1}{2}AI\). (4)

Từ (3), (4) ta có \(DH\,{\rm{//}}\,EG\)\(DH = EG\).

Khi đó, tứ giác \(DHGE\) là hình bình hành.

Lại có \(DH\,{\rm{//}}\,AI,\,\,AI \bot BC\) nên \(DH \bot BC\), do đó hình bình hành \(DHGE\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(HE = DG.\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, từ đó suy ra AE = DM. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác \(ADME\) có:  

\(\widehat {AEM} = 90^\circ \) (do \(ME \bot AC);\)

\(\widehat {EAD} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A);\)

\(\widehat {ADM} = 90^\circ \) (do \(MD \bot AB)\)

Suy ra tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Do đó \(AE = DM\) (tính chất hình chữ nhật). (1)

b) Xét \(\Delta ABC\)\(M\) là trung điểm của \(BC\)\(MD\,{\rm{//}}\,AC\) (cùng vuông góc với \(AB)\) nên \(MD\) là đường trung bình của tam giác, do đó \(D\) là trung điểm của \(AB.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(E\) là trung điểm của \[AC.\]

Khi đó \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

Do đó \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) (tính chất đường trung bình), hay \(DE\,{\rm{//}}\,HM.\)

Tứ giác \(DHME\)\(DE\,{\rm{//}}\,HM\) nên \(DHME\) là hình thang.

Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\)\(HE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên \(HE = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\(E\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AE = \frac{1}{2}AC.\) Do đó \(HE = AE\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(DM = HE.\)

Hình thang \(DHME\)\(DM = HE\) nên là hình thang cân.

c) Vì \(ADME\) là hình chữ nhật (câu a) nên \(AD = ME\) (tính chất hình chữ nhật).

Lại có \(D,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(AB,NE\) nên \(AB = 2AD\)\(NE = 2ME.\)

Do đó \[AB = NE.\]

Tứ giác \(ABNE\)\(AB = NE\) (chứng minh trên) và \(AB\,{\rm{//}}\,NE\) (cùng vuông góc với \(AC)\) nên \(ABNE\) là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {BAE} = 90^\circ \) nên hình bình hành \(ABNE\) là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo \(AN,\,\,BE\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AN,\,\,BE\) thì \(I\) là trung điểm của \(AN,\,\,BE.\)

Xét \(\Delta BKE\) vuông tại \(K\)\(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BE\) nên \(KI = \frac{1}{2}BE\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

\(AN = BE\) nên \(KI = \frac{1}{2}AN.\)

Xét \(\Delta AKN\)\(KI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AN\)\(KI = \frac{1}{2}AN.\)

Do đó \(\Delta AKN\) vuông tại \(K\) nên \(AK \bot KN\) tại \(K.\)

Lời giải

Hướng dẫn giải

Hình 1:

Ta có \(MB = AB - AM = 7 - 2 = 5.\)

Tam giác \(ABC\)\(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) hay \(\frac{2}{5} = \frac{x}{6},\) suy ra \(x = \frac{{2 \cdot 6}}{5} = 2,4.\)

Vậy \(x = 2,4.\)

Tìm độ dài  x , y  trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): (ảnh 1)

Hình 1

Hình 2:

Ta có: \[EF \bot MN,\,\,NP \bot MN\] nên \[EF\,{\rm{//}}\,NP.\]

\(MP = MF + FP = 5 + 15 = 20.\)

Tam giác \[MNP\]\[EF\,{\rm{//}}\,NP,\] theo định lí Thalès ta có:

\[\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MF}}{{MP}}\] hay \(\frac{3}{y} = \frac{5}{{20}},\) suy ra \(y = \frac{{3 \cdot 20}}{5} = 12.\)

Vậy \(y = 12.\)

Tìm độ dài  x , y  trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): (ảnh 2)

Hình 2

Hình 3:

Tam giác \[ABC\]\[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\]\[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \[x = 7,5\,\,{\rm{cm}}.\]

Tìm độ dài  x , y  trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): (ảnh 3)

Hình 3

Hình 4:

Tam giác \[ABC\]\[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\]\[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC.\]

Suy ra \[x = BC = 2MN = 2 \cdot 3,5 = 7\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \(x = 7{\rm{\;cm}}.\)

Tìm độ dài  x , y  trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): (ảnh 4)

Hình 4

Hình 5:

Xét tam giác \[ABC\]\[AD\] là phân giác trong góc \[\widehat {BAC}\] (do \[\widehat {BAD} = \widehat {CAD}),\] nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}},\) hay \[\frac{5}{{8,5}} = \frac{3}{{DC}}\]

Suy ra \[DC = \frac{{8,5 \cdot 3}}{5} = 5,1.\]

Khi đó \(x = BC = DB + DC = 3 + 5,1 = 8,1.\)

Tìm độ dài  x , y  trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): (ảnh 5)

Hình 5

Hình 6:

Xét tam giác \[IKJ\]\[IL\] là phân giác trong góc \[\widehat {KIJ}\] (do \(\widehat {KIL} = \widehat {JIL}),\) nên \(\frac{{IK}}{{IJ}} = \frac{{LK}}{{LJ}}\) suy ra \[\frac{{LK}}{{IK}} = \frac{{LJ}}{{IJ}}\] hay \[\frac{{LK}}{{6,2}} = \frac{{LJ}}{{8,7}}\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{LK}}{{6,2}} = \frac{{LJ}}{{8,7}} = \frac{{LK + LJ}}{{6,2 + 8,7}} = \frac{{KJ}}{{14,9}} = \frac{{12,5}}{{14,9}}.\]

Suy ra \[LJ = \frac{{12,5}}{{14,9}} \cdot 8,7 \approx 7,3.\]

Tìm độ dài  x , y  trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): (ảnh 6)

Hình 6

Câu 4

Cho tứ giác \[ABCD.\] Gọi \[E,{\rm{ }}F,{\rm{ }}I\;\] theo thứ tự là trung điểm của \(AD,\,\,BC,\,\,AC.\) Chứng minh rằng:

     a) \[EI\,{\rm{//}}\,CD\]\[IF\,{\rm{//}}\,AB.\]                    b) \[EF \le \frac{{AB + CD}}{2}.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AD\), trọng tâm \(G,\) đường thẳng đi qua \(G\) cắt các cạnh \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(E,\,\,F.\) Từ \(B,\,\,C\) kẻ các đường song song với \(EF\) cắt \(AD\) lần lượt tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh rằng:

     a) \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.\)              b) \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.\)                  c) \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP