Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(BC.\) Qua \(I\) vẽ \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N.\) Lấy điểm \(D\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(ID.\)

     a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) và tứ giác \(ADCI\) là hình thoi.

     b) Đường thẳng \(BN\) cắt cạnh \(DC\) tại \(K.\) Chứng minh \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}.\)

⦁ Hình 1:

Ta có \(MB = AB - AM = 7 - 2 = 5.\)

Tam giác \(ABC\) có \(MN\,{\rm{//}}\,AB,\) theo định lí Thalès ta có:

\(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\) hay \(\frac{2}{5} = \frac{x}{6},\) suy ra \(x = \frac{{2 \cdot 6}}{5} = 2,4.\)

Vậy \(x = 2,4.\)

Hình 1

⦁ Hình 2:

Ta có: \[EF \bot MN,\,\,NP \bot MN\] nên \[EF\,{\rm{//}}\,NP.\]

\(MP = MF + FP = 5 + 15 = 20.\)

Tam giác \[MNP\] có \[EF\,{\rm{//}}\,NP,\] theo định lí Thalès ta có:

\[\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MF}}{{MP}}\] hay \(\frac{3}{y} = \frac{5}{{20}},\) suy ra \(y = \frac{{3 \cdot 20}}{5} = 12.\)

Vậy \(y = 12.\)

Hình 2

⦁ Hình 3:

Tam giác \[ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \[x = 7,5\,\,{\rm{cm}}.\]

Hình 3

⦁ Hình 4:

Tam giác \[ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác.

Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC.\]

Suy ra \[x = BC = 2MN = 2 \cdot 3,5 = 7\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy \(x = 7{\rm{\;cm}}.\)

Hình 4

⦁ Hình 5:

Xét tam giác \[ABC\] có \[AD\] là phân giác trong góc \[\widehat {BAC}\] (do \[\widehat {BAD} = \widehat {CAD}),\] nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}},\) hay \[\frac{5}{{8,5}} = \frac{3}{{DC}}\]

Suy ra \[DC = \frac{{8,5 \cdot 3}}{5} = 5,1.\]

Khi đó \(x = BC = DB + DC = 3 + 5,1 = 8,1.\)

Hình 5

⦁ Hình 6:

Xét tam giác \[IKJ\] có \[IL\] là phân giác trong góc \[\widehat {KIJ}\] (do \(\widehat {KIL} = \widehat {JIL}),\) nên \(\frac{{IK}}{{IJ}} = \frac{{LK}}{{LJ}}\) suy ra \[\frac{{LK}}{{IK}} = \frac{{LJ}}{{IJ}}\] hay \[\frac{{LK}}{{6,2}} = \frac{{LJ}}{{8,7}}\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\[\frac{{LK}}{{6,2}} = \frac{{LJ}}{{8,7}} = \frac{{LK + LJ}}{{6,2 + 8,7}} = \frac{{KJ}}{{14,9}} = \frac{{12,5}}{{14,9}}.\]

Suy ra \[LJ = \frac{{12,5}}{{14,9}} \cdot 8,7 \approx 7,3.\]

Hình 6

a) Vì \(ABCD\) là hình thang có hai đáy \(AB\) và \(CD\) nên \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,DM\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả định lí Thalès ta có \(\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,MC\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD),\) nên theo hệ quả định lí