Câu hỏi:

20/09/2025 55

Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB$ và $CD.$ Gọi $M$ là trung điểm của $CD,$ $E$ là giao điểm của $MA$ và $BD,$ $F$ là giao điểm của $MB$ và $AC.$

     a) Chứng minh rằng \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\]

     b) Đường thẳng $EF$ cắt $AD,\,\,BC$ lần lượt tại $H$ và $N.$ Chứng minh $HE = EF = FN.$

     c) Biết $AB = 7,5{\rm{\;cm}},\,\,CD = 12{\rm{\;cm}}.$ Tính độ dài $HN.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Vì $ABCD$ là hình thang có hai đáy $AB$ và $CD$ nên $AB\,{\rm{//}}\,CD.$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,DM$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}}.$ $\left( 1 \right)$

Vì $AB\,{\rm{//}}\,MC$ (do $AB\,{\rm{//}}\,CD),$ nên theo hệ quả định lí

$Chứng minh rằng \[EF\,{\rm{//}}\,AB.\] (ảnh 1)$

Thalès ta có $\frac{{BF}}{{FM}} = \frac{{AB}}{{MC}}.$ $\left( 2 \right)$

Lại có $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC.$ $\left( 3 \right)$

Từ $\left( 1 \right),$ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{BF}}{{FM}},$ theo định lí Thalès đảo ta có $EF\,{\rm{//}}\,AB.$

b) Xét $\Delta ADM$ có $HE\,{\rm{//}}\,DM,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}.$

Xét $\Delta AMC$ có $EF\,{\rm{//}}\,MC,$ theo hệ quả định lí Thalès ta có \[\frac{{EF}}{{MC}} = \frac{{AE}}{{AM}}.\]

Do đó $\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{EF}}{{MC}},$ mà $DM = MC$ nên $HE = EF.$

Chứng minh tương tự ta cũng có $EF = FN.$ Suy ra $HE = EF = FN.$

c) Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $DM = MC = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6{\rm{\;cm}}.$

Theo câu a, ta có $\frac{{AE}}{{EM}} = \frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{7,5}}{6} = \frac{5}{4}.$ Suy ra $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4}.$

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EM}}{4} = \frac{{AE + EM}}{{5 + 4}} = \frac{{AM}}{9}.$

Do đó $\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{5}{9}.$

Mà theo câu b, \[\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{{AE}}{{AM}}\] nên \[\frac{{HE}}{{DM}} = \frac{5}{9}.\]

Suy ra $HE = \frac{5}{9}DM = \frac{5}{9} \cdot 6 = \frac{{10}}{3}{\rm{\;cm}}.$

Lại có $HE = EF = FN$ (câu b) nên $HN = 3HE = 3 \cdot \frac{{10}}{3} = 10{\rm{\;cm}}.$

Vậy $HN = 10{\rm{\;cm}}.$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $ABC\;$ vuông tại $A$ $\left( {AB < AC} \right)$ có \[AM\] là đường trung tuyến. Gọi $D,\;\,\,E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên cạnh $AB,\;\,\,AC.$

     a) Chứng minh tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật, từ đó suy ra $AE = DM.$

     b) Kẻ đường cao $AH$ $\left( {H \in BC} \right)$ của ${\rm{\Delta }}ABC.$ Chứng minh tứ giác $DHME$ là hình thang cân.

     c) Lấy điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm của $NE.$ Kẻ $EK$ vuông góc với $BC.$ Chứng minh $AK \bot KN.$

Xem đáp án

Lời giải

Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật, từ đó suy ra AE = DM. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác $ADME$ có:

$\widehat {AEM} = 90^\circ $ (do $ME \bot AC);$

$\widehat {EAD} = 90^\circ $ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A);$

$\widehat {ADM} = 90^\circ $ (do $MD \bot AB)$

Suy ra tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Do đó $AE = DM$ (tính chất hình chữ nhật). (1)

b) ⦁ Xét $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ và $MD\,{\rm{//}}\,AC$ (cùng vuông góc với $AB)$ nên $MD$ là đường trung bình của tam giác, do đó $D$ là trung điểm của $AB.$

Chứng minh tương tự, ta cũng có $E$ là trung điểm của \[AC.\]

Khi đó $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC.$

Do đó $DE\,{\rm{//}}\,BC$ (tính chất đường trung bình), hay $DE\,{\rm{//}}\,HM.$

Tứ giác $DHME$ có $DE\,{\rm{//}}\,HM$ nên $DHME$ là hình thang.

⦁ Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$ có $HE$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên $HE = \frac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Mà $E$ là trung điểm của $AC$ nên $AE = \frac{1}{2}AC.$ Do đó $HE = AE$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $DM = HE.$

Hình thang $DHME$ có $DM = HE$ nên là hình thang cân.

c) Vì $ADME$ là hình chữ nhật (câu a) nên $AD = ME$ (tính chất hình chữ nhật).

Lại có $D,\,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,NE$ nên $AB = 2AD$ và $NE = 2ME.$

Do đó \[AB = NE.\]

Tứ giác $ABNE$ có $AB = NE$ (chứng minh trên) và $AB\,{\rm{//}}\,NE$ (cùng vuông góc với $AC)$ nên $ABNE$ là hình bình hành.

Lại có $\widehat {BAE} = 90^\circ $ nên hình bình hành $ABNE$ là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo $AN,\,\,BE$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Gọi $I$ là giao điểm của $AN,\,\,BE$ thì $I$ là trung điểm của $AN,\,\,BE.$

Xét $\Delta BKE$ vuông tại $K$ có $KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BE$ nên $KI = \frac{1}{2}BE$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Mà $AN = BE$ nên $KI = \frac{1}{2}AN.$

Xét $\Delta AKN$ có $KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AN$ và $KI = \frac{1}{2}AN.$

Do đó $\Delta AKN$ vuông tại $K$ nên $AK \bot KN$ tại $K.$

Câu 2

Tìm $x$, biết:

h) $2{x^2} - 5x + 3 = 0$.

Xem đáp án

Lời giải

h) $2{x^2} - 5x + 3 = 0$

$2{x^2} - 2x - 3x + 3 = 0$

$\left( {2{x^2} - 2x} \right) - \left( {3x - 3} \right) = 0$

$2x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right) = 0$

$\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 3} \right) = 0$

$x - 1 = 0$ hoặc $2x - 3 = 0$

$x = 1$ hoặc $x = \frac{3}{2}$

Vậy $x = 1$; $x = \frac{3}{2}$.

Câu 3