Hình dưới đây thể hiện số lượng học sinh tham gia đăng kí hai Câu lạc bộ cầu lông và cờ vua của trường:

 

a) Lập bảng thống kê cho biểu đồ trên.

b) Cho biết sự khác nhau về việc tham gia đăng kí hai Câu lạc bộ cầu lông và cờ vua của hai lớp 8A3 và 8A4.

c) Nếu lớp 8A1 có số lượng học sinh tham gia Câu lạc bộ cầu lông chiếm \(25\% \) tổng số học sinh cả lớp. Hãy tính xem lớp 8A1 có bao nhiêu học sinh.

d) Hãy so sánh tổng số học sinh tham gia Câu lạc bộ cầu lông và Câu lạc bộ cờ vua.

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 - 1 = - {y^2}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} - 1 = - {y^2}\)

\({\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\)

\(\left( {x + y + 3 + 1} \right)\left( {x + y + 3 - 1} \right) = - {y^2}\)

\(\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = - {y^2}\).

Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có \({y^2} \ge 0\) hay \( - {y^2} \le 0\)

Nên \(\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) \le 0.\)

\(\left( {x + y + 6 - 2} \right)\left( {x + y + 6 - 4} \right) \le 0\)

\(\left( {M - 2} \right)\left( {M - 4} \right) \le 0\) \((*)\)

Với mọi \(x,\,\,y\) và \[M = x + y + 6\] ta lại có \(M - 4 < M - 2\) nên để \((*)\) xảy ra thì \(M - 4 \le 0\) và \(M - 2 \ge 0.\)

⦁ Xét \(M - 4 \le 0\) ta có \(M \le 4\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 2 = 0\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 2,\,\,y = 0.\)

⦁ Xét \(M - 2 \ge 0\) ta có \(M \ge 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 4 = 0\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 4,\,\,y = 0.\)

Vậy GTLN của \(M\) bằng 4 khi \(x = - 2,\,\,y = 0\) và GTNN của \(M\) bằng 2 khi \(x = - 4,\,\,y = 0.\)

Cách 2. Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 = 1 - {y^2}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} = 1 - {y^2}\)

\({\left( {x + y + 3} \right)^2} = 1 - {y^2}\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có \({y^2} \ge 0\) hay \( - {y^2} \le 0\) nên \(1 - {y^2} \le 1\).

Suy ra: \({\left( {x + y + 3} \right)^2} \le 1\), do đó \(\left| {x + y + 3} \right| \le 1\) hay \( - 1 \le x + y + 3 \le 1\)

Vì vậy, \(2 \le x + y + 6 \le 4\)

⦁ Xét \(x + y + 6 \le 4\) hay \(M \le 4\). Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 6 = 4\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 2,\,\,y = 0.\)

⦁ Xét \(2 \le x + y + 6\) hay \(M \ge 2\). Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 6 = 2\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 4,\,\,y = 0.\)

Vậy GTLN của \(M\) bằng 4 khi \(x = - 2,\,\,y = 0\) và GTNN của \(M\) bằng 2 khi \(x = - 4,\,\,y = 0.\)

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta ABC\) có \[AB{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,EF,\] theo định lí Thalès ta có \(\frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{CF}}{{FA}},\) hay \(\frac{{42}}{{BE}} = \frac{{35}}{{50}}.\)

Suy ra \(BE = \frac{{42 \cdot 50}}{{35}} = 60{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)