Cho x và y thoả mãn: \[{x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \[M = x + y + 6\].

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 - 1 = - {y^2}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} - 1 = - {y^2}\)

\({\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\)

\(\left( {x + y + 3 + 1} \right)\left( {x + y + 3 - 1} \right) = - {y^2}\)

\(\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = - {y^2}\).

Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có \({y^2} \ge 0\) hay \( - {y^2} \le 0\)

Nên \(\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) \le 0.\)

\(\left( {x + y + 6 - 2} \right)\left( {x + y + 6 - 4} \right) \le 0\)

\(\left( {M - 2} \right)\left( {M - 4} \right) \le 0\) \((*)\)

Với mọi \(x,\,\,y\) và \[M = x + y + 6\] ta lại có \(M - 4 < M - 2\) nên để \((*)\) xảy ra thì \(M - 4 \le 0\) và \(M - 2 \ge 0.\)

⦁ Xét \(M - 4 \le 0\) ta có \(M \le 4\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 2 = 0\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 2,\,\,y = 0.\)

⦁ Xét \(M - 2 \ge 0\) ta có \(M \ge 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 4 = 0\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 4,\,\,y = 0.\)

Vậy GTLN của \(M\) bằng 4 khi \(x = - 2,\,\,y = 0\) và GTNN của \(M\) bằng 2 khi \(x = - 4,\,\,y = 0.\)

Cách 2. Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 = 1 - {y^2}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} = 1 - {y^2}\)

\({\left( {x + y + 3} \right)^2} = 1 - {y^2}\)

Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có \({y^2} \ge 0\) hay \( - {y^2} \le 0\) nên \(1 - {y^2} \le 1\).

Suy ra: \({\left( {x + y + 3} \right)^2} \le 1\), do đó \(\left| {x + y + 3} \right| \le 1\) hay \( - 1 \le x + y + 3 \le 1\)

Vì vậy, \(2 \le x + y + 6 \le 4\)

⦁ Xét \(x + y + 6 \le 4\) hay \(M \le 4\). Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 6 = 4\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 2,\,\,y = 0.\)

⦁ Xét \(2 \le x + y + 6\) hay \(M \ge 2\). Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 6 = 2\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 4,\,\,y = 0.\)

Vậy GTLN của \(M\) bằng 4 khi \(x = - 2,\,\,y = 0\) và GTNN của \(M\) bằng 2 khi \(x = - 4,\,\,y = 0.\)