Cho x và y thoả mãn: \[{x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \[M = x + y + 6\].
Cho x và y thoả mãn: \[{x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\]. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \[M = x + y + 6\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Cách 1. Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)
\({x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 - 1 = - {y^2}\)
\({\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} - 1 = - {y^2}\)
\({\left( {x + y + 3} \right)^2} - 1 = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 3 + 1} \right)\left( {x + y + 3 - 1} \right) = - {y^2}\)
\(\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = - {y^2}\).
Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có \({y^2} \ge 0\) hay \( - {y^2} \le 0\)
Nên \(\left( {x + y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) \le 0.\)
\(\left( {x + y + 6 - 2} \right)\left( {x + y + 6 - 4} \right) \le 0\)
\(\left( {M - 2} \right)\left( {M - 4} \right) \le 0\) \((*)\)
Với mọi \(x,\,\,y\) và \[M = x + y + 6\] ta lại có \(M - 4 < M - 2\) nên để \((*)\) xảy ra thì \(M - 4 \le 0\) và \(M - 2 \ge 0.\)
⦁ Xét \(M - 4 \le 0\) ta có \(M \le 4\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 2 = 0\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 2,\,\,y = 0.\)
⦁ Xét \(M - 2 \ge 0\) ta có \(M \ge 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 4 = 0\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 4,\,\,y = 0.\)
Vậy GTLN của \(M\) bằng 4 khi \(x = - 2,\,\,y = 0\) và GTNN của \(M\) bằng 2 khi \(x = - 4,\,\,y = 0.\)
Cách 2. Ta có: \({x^2} + 2xy + 6x + 6y + 2{y^2} + 8 = 0\)
\({x^2} + 2xy + {y^2} + 6x + 6y + 9 = 1 - {y^2}\)
\({\left( {x + y} \right)^2} + 2\left( {x + y} \right) \cdot 3 + {3^2} = 1 - {y^2}\)
\({\left( {x + y + 3} \right)^2} = 1 - {y^2}\)
Với mọi \(x,\,\,y\) ta luôn có \({y^2} \ge 0\) hay \( - {y^2} \le 0\) nên \(1 - {y^2} \le 1\).
Suy ra: \({\left( {x + y + 3} \right)^2} \le 1\), do đó \(\left| {x + y + 3} \right| \le 1\) hay \( - 1 \le x + y + 3 \le 1\)
Vì vậy, \(2 \le x + y + 6 \le 4\)
⦁ Xét \(x + y + 6 \le 4\) hay \(M \le 4\). Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 6 = 4\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 2,\,\,y = 0.\)
⦁ Xét \(2 \le x + y + 6\) hay \(M \ge 2\). Dấu “=” xảy ra khi \(x + y + 6 = 2\) và \(y = 0\), tức là \(x = - 4,\,\,y = 0.\)
Vậy GTLN của \(M\) bằng 4 khi \(x = - 2,\,\,y = 0\) và GTNN của \(M\) bằng 2 khi \(x = - 4,\,\,y = 0.\)
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
![Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \[B\] và \[E\] ở hai bên bờ sông, bác Minh chọn ba vị trí \[A,{\rm{ }}F,{\rm{ }}C\ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/69-1758353611.png)
Lời giải
Hướng dẫn giải
Xét \(\Delta ABC\) có \[AB{\rm{ }}\,{\rm{//}}\,EF,\] theo định lí Thalès ta có \(\frac{{EC}}{{EB}} = \frac{{CF}}{{FA}},\) hay \(\frac{{42}}{{BE}} = \frac{{35}}{{50}}.\)
Suy ra \(BE = \frac{{42 \cdot 50}}{{35}} = 60{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)
Lời giải
Hướng dẫn giải
a) Vì \[x\] là số tự nhiên không chia hết cho \[3\] nên ta có \(x = 3k + 1\) hoặc \(x = 3k + 2\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\).
⦁ Với \(x = 3k + 1\) ta có: \[M = 2{\left( {3k + 1} \right)^2} - 5\]\[ = 2\left( {9{k^2} + 6k + 1} \right) - 5\]
\[ = 18{k^2} + 12k + 2 - 5\]\[ = 18{k^2} + 12k - 3 = 3\left( {6{k^2} + 4k - 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\].
⦁ Với \(x = 3k + 2\) ta có: \[M = 2{\left( {3k + 2} \right)^2} - 5\]\[ = 2\left( {9{k^2} + 12k + 4} \right) - 5\]
\[ = 18{k^2} + 24k + 8 - 5\]\[ = 18{k^2} + 24k + 3\]\[ = 3\left( {6{k^2} + 8k + 1} \right)\,\, \vdots \,\,3\].
Vậy \[x\] là số tự nhiên không chia hết cho \[3\] thì \(M = 2{x^2} - 5\) chia hết cho \[3\].
b) Vì \(x\) là số tự nhiên lẻ nên ta có \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\). Do đó:
\(N = {\left( {2k + 1} \right)^3} + 3{\left( {2k + 1} \right)^2} - \left( {2k + 1} \right) - 3\)
\( = 8{k^3} + 12{k^2} + 6k + 1 + 12{k^2} + 12k + 3 - 2k - 1 - 3\)
\( = 8{k^3} + 24{k^2} + 16k\)
\( = 8\left( {{k^3} + 3{k^2} + 2k} \right)\,\, \vdots \,\,8\)
Vậy \(x\) là số tự nhiên lẻ thì \(N = {x^3} + 3{x^2} - x - 3\) chia hết cho \[8\].
c) Ta có \[M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1\]\( = x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 1\)
\( = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 1\)\( = {\left( {{x^2} + 3x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1\)\( = {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2}\).
Với \(x \in \mathbb{Z}\) ta có \(\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \in \mathbb{Z}\). Do đó \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2}\) là bình phương của một số nguyên.
Vậy đa thức \[M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 1\] (với \(x \in \mathbb{Z}\)) là bình phương của một số nguyên.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo