Số học sinh khối 6 của một trường THCS khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em, xếp hàng 12 em thì thừa 10 em, khi xếp hàng 15 em thì thừa 13 em nhưng khi xếp hàng 17 thì vừa đủ. Tính số học sinh khối 6 của trường biết số học sinh là một số tự nhiên có ba chữ số nhỏ hơn 250.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (học sinh) là số học sinh của trường THCS đó \(\left( {x \in \mathbb{N},\,\,100 \le x < 250} \right)\).

Khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em nên \(x\) chia 10 dư 8, hay \(\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,10\).

Khi xếp hàng 12 em thì thừa 10 em nên \(x\) chia 12 dư 10, hay \(\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,12\).

Khi xếp hàng 15 em thì thừa 13 em nên \(x\) chia 15 dư 13, hay \(\left( {x + 2} \right)\,\, \vdots \,\,15\).

Từ đó suy ra \(x \in {\rm{BC}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right)\).

Ta có: \(10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.\)

Do đó \[{\rm{BCNN}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\].

Khi đó \[x + 2 \in {\rm{BC}}\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {\rm{B}}\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,360;\,\,...} \right\}\].

Mà \[100 \le x < 250\] nên \(102 \le x + 2 \le 252\), suy ra \(x + 2 \in \left\{ {120;\,\,180;\,\,240} \right\}\).

Do đó \(x \in \left\{ {118;\,\,178;\,\,238} \right\}\).

Mặt khác khi số học sinh của trường xếp hàng 17 thì vừa đủ nên \(x\,\, \vdots \,\,17\).

Xét 3 trường hợp ở trên ta có \(x = 238\) thỏa mãn \(x\,\, \vdots \,\,17\).

Vậy trường THCS đó có 238 học sinh.