Cho hình vẽ, biết \[AB\,{\rm{//}}\,xy,\] \(\widehat {BAI} = 45^\circ \), \(\widehat {AIF} = 105^\circ \).

a) Vẽ lại hình và viết giả thiết, kết luận của bài toán.

b) Tính số đo \(\widehat {FIx}\) và \(\widehat {FIy}\).

c) Chứng minh \[AB\,{\rm{//}}\,EF\].

Hướng dẫn giải

Ta có \(VT = \left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4\).

Ta có \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).

Do đó \(VP = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le 4\).

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}VT \ge 4\\VP \le 4\end{array} \right.\). Mà \(VT = VP\) nên \(VT = VP = 4\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) > 0\end{array} \right.\) nên \(x = - 1\).

Vậy \(x = - 1\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(25 - {y^2} = 8{\left( {x - 2005} \right)^2}\) nên ${\left(x-2005\right)}^2=\frac{25-y^2}{8}\left(1\right)$

Vì \(x,\,y\) là các số nguyên dương và \({\left( {x - 2005} \right)^2} \ge 0\) nên \(\left( 1 \right)\) suy ra \[0 < y \le 5\,;\,\,25 - {y^2} \in B\left( 8 \right).\]

Ta lập bảng sau:

Vậy \(x = 2005\,;\,\,y = 5\) thỏa yêu cầu bài toán.