Cho hình vẽ, biết \[AB\,{\rm{//}}\,xy,\] \(\widehat {BAI} = 45^\circ \), \(\widehat {AIF} = 105^\circ \).

a) Vẽ lại hình và viết giả thiết, kết luận của bài toán.

b) Tính số đo \(\widehat {FIx}\) và \(\widehat {FIy}\).

c) Chứng minh \[AB\,{\rm{//}}\,EF\].

Hướng dẫn giải

Ta có: \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\left| {y - 2} \right| \ge 0\) với mọi \(y \in \mathbb{R}\)

Khi đó \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| \ge 0\) nên \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 0 + 10.\)

Do đó \({\left( {{x^2} - 9} \right)^2} + \left| {y - 2} \right| + 10 \ge 10\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 9 = 0\\\left| {y - 2} \right| = 0\end{array} \right.\)  nên \(\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = 2\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) bằng \(10\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 3;2} \right)\) hay \(\left( {x\,;y} \right) = \left( {3\,;2} \right)\).

c) Ta có \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\({x^2} + 5 \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(\left| {{x^2} + 5} \right| \ge 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( - \left| {{x^2} + 5} \right| \le - 5\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\(6 - \left| {{x^2} + 5} \right| \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0\) hay \(x = 0\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức đã cho là 1 khi \(x = 0\).