Cho hình vẽ, biết \[AB\,{\rm{//}}\,xy,\] \(\widehat {BAI} = 45^\circ \), \(\widehat {AIF} = 105^\circ \).

a) Vẽ lại hình và viết giả thiết, kết luận của bài toán.

b) Tính số đo \(\widehat {FIx}\) và \(\widehat {FIy}\).

c) Chứng minh \[AB\,{\rm{//}}\,EF\].

Hướng dẫn giải

Ta có \(VT = \left| {2x + 3} \right| + \left| {2x - 1} \right| = \left| {2x + 3} \right| + \left| {1 - 2x} \right| \ge \left| {2x + 3 + 1 - 2x} \right| = 4\).

Ta có \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) suy ra \(3{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).

Do đó \(VP = \frac{8}{{3{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 2}} \le 4\).

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}VT \ge 4\\VP \le 4\end{array} \right.\). Mà \(VT = VP\) nên \(VT = VP = 4\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\\left( {2x + 3} \right)\left( {1 - 2x} \right) > 0\end{array} \right.\) nên \(x = - 1\).

Vậy \(x = - 1\).

Gọi số câu trắc nghiệm bạn Nam đã giải trong đợt ôn thi là \(x,{\rm{ }}\left( {x > 2,x \in \mathbb{N}} \right)\) và số câu bạn Nam đã trả lời đúng là \(y\) (câu).

Khi đó, theo đề bài, ta có: \(y + 2 = 76\% \cdot x\) và \(y = 75\% \cdot \left( {x - 2} \right)\).

Suy ra ta có: \(75\% \cdot \left( {x - 2} \right) + 2 = 76\% \cdot x\) hay \(\frac{3}{4}x - \frac{3}{2} + 2 = \frac{{19}}{{25}}x\).

Suy ra \(\frac{{19}}{{25}}x - \frac{3}{4}x = \frac{1}{2}\) hay \(\frac{1}{{100}} \cdot x = \frac{1}{2}\) nên \(x = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50\) (thỏa mãn).

Vậy trong đợt ôn thi, bạn Nam đã giải 50 câu trắc nghiệm.