Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]
a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\]
c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.
Cho hình bình hành \[ABCD\] có cạnh \(AB = 2AD.\) Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD.\]
a) Chứng minh rằng \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Chứng minh rằng \(AN\) là tia phân giác của góc \[DAB.\]
c) Gọi giao điểm của \(AN\) với \[DM\]là \[P,{\rm{ }}CM\] với \[BN\] là \[Q.\] Tìm điều kiện của hình bình hành\[ABCD\] để tứ giác \[PMQN\] là hình vuông.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
|
Hướng dẫn giải a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\) Lại có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\] nên \(AM = BM = \frac{1}{2}AB\) và \(DN = CN = \frac{1}{2}CD.\) Do đó \(AM = BM = DN = CN\). |
 |
Tứ giác \(DMBN\) có \(BM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BM = DN\) nên \(DMBN\) là hình bình hành.
b) Xét tứ giác \(AMND\) có \(AM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(AM = DN\) nên \(AMND\) là hình bình hành.
Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AD = \frac{1}{2}AB\), suy ra \(AM = AD\).
Hình bình hành \(AMND\) có \(AM = AD\) nên \(AMND\) là hình thoi
Suy ra đường chéo \(AN\) là đường phân giác của \(\widehat {DAM}\) hay \(\widehat {DAB}.\)
c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.
Suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(PN\,{\rm{//}}\,QM\).
Do \(DMBN\) là hình bình hành nên \(DM\,{\rm{//}}\,BN\) hay \(PM\,{\rm{//}}\,QN\).
Tứ giác \[PMQN\] có \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)và \(PM\,{\rm{//}}\,QN\) nên \[PMQN\] là hình bình hành.
Lại có \(AMND\) là hình thoi nên \(AN \bot DM\) hay \(\widehat {MPN} = 90^\circ \).
Do đó hình bình hành \[PMQN\] là hình chữ nhật.
Để \[PMQN\] là hình vuông thì \(PM = PN\,\,\,\left( * \right)\)
Mà \(PM = \frac{1}{2}DM\) và \(PN = \frac{1}{2}AN\) (do \(AMND\) là hình thoi nên \(P\) là trung điểm của hai đường chéo).
Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì \(DM = AN\) hay hình thoi \(AMND\) là hình vuông, khi đó \(\widehat {DAM} = 90^\circ .\)
Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {DAM} = 90^\circ \) thì sẽ trở thành hình chữ nhật.
Vậy để \[PMQN\] là hình vuông thì \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.
Thật vậy, khi \(ABCD\) là hình vuông thì hình chữ nhật \[PMQN\] có \(PM = PN\) nên là hình vuông.
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
|
a) Xét tứ giác \(AMHN\) có \(\widehat {AMH} = \widehat {MAN} = \widehat {ANH} = {\rm{90^\circ }}\) Do đó tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật. b) Tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật nên \(AN = MH\) Mà \(PM = MH\)(do \[M\] là trung điểm của \[PH\,)\] nên\(AN = PM.\) Ta lại có \(AN\,{\rm{//}}\,PM\)(do \(AN \bot AB\,;PM \bot AB\,).\) Do đó tứ giác \(APMN\) là hình bình hành. |
 |
c) Vì \(NC\parallel MK\) nên tứ giác \(MNCK\) là hình thang.
Tứ giác \(AHKC\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường nên là hình bình hành nên \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\). \(\left( 1 \right)\)
Tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.
Khi đó \(OA = ON = OM = OH\) nên \(\Delta OMH\) cân tại \(O\,.\)
Suy ra \(\widehat {OMH} = \widehat {OHM}\) mà \(\widehat {OAN} = \widehat {OHM}\) ( so le trong)
Do đó \(\widehat {OAN} = \widehat {OMH}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {OMH} = \widehat {HKC}\).
Hình thang \(MNCK\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
d) Vì \(\Delta AHC\) có hai đường trung tuyến \(AI,\,\,CO\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trọng tâm nên
\(AD = \frac{2}{3}AI\) mà \(AI = \frac{1}{2}AK\).
Thay vào ta được \(AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) nên \(AK = 3AD\).
Lời giải
a) Chu vi mảnh đất làm nhà là: \(2\left( {x - 25 + x - 15} \right) = 2\left( {2x - 40} \right) = 4x - 80\).
Vậy đa thức biểu thị chu vi của mảnh đất làm nhà \(4x - 80\) (m).
b) Vì chu vi của mảnh đất dành để làm nhà bằng \[40\,\,{\rm{m}}\] nên ta có
\(4x - 80 = 40\) hay \(4x = 120\) nên \(x = 30\).
Diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[{30^2} = 900{\rm{ }}({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]
Vậy diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[900{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo