Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC\,,\) đường cao \(AH\,.\) Từ \(H\) kẻ \(HM \bot AB\,\,\left( {M \in AB} \right)\,.\) Kẻ \(HN \bot AC\,\,\left( {N \in AC} \right)\,.\)

a) Chứng minh tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật .

b) Trên tia đối của tia \[MH\] lấy điểm \[P\] sao cho \[M\] là trung điểm của \[PH.\] Chứng minh tứ giác \(APMN\) là hình bình hành.

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HC\,,\) lấy \(K\) trên tia \(AI\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(AK\,.\) Chứng minh \(MNCK\) là hình thang cân.

d) \(MN\) cắt \(AH\) tại \(O,\) \(CO\) cắt \(AK\) tại \(D\,.\) Chứng minh \(AK = 3AD\,.\)

a) Chu vi mảnh đất làm nhà là: \(2\left( {x - 25 + x - 15} \right) = 2\left( {2x - 40} \right) = 4x - 80\).

Vậy đa thức biểu thị chu vi của mảnh đất làm nhà \(4x - 80\) (m).

b) Vì chu vi của mảnh đất dành để làm nhà bằng \[40\,\,{\rm{m}}\] nên ta có

\(4x - 80 = 40\) hay \(4x = 120\) nên \(x = 30\).

Diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[{30^2} = 900{\rm{ }}({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Vậy diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[900{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]

Hướng dẫn giải a) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AB\,{\rm{//}}\,CD.\) Lại có \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[CD\] nên \(AM = BM = \frac{1}{2}AB\) và \(DN = CN = \frac{1}{2}CD.\) Do đó \(AM = BM = DN = CN\).

Tứ giác \(DMBN\) có \(BM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BM = DN\) nên \(DMBN\) là hình bình hành.

b) Xét tứ giác \(AMND\) có \(AM\,{\rm{//}}\,DN\) (do \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(AM = DN\) nên \(AMND\) là hình bình hành.

Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AD = \frac{1}{2}AB\), suy ra \(AM = AD\).

Hình bình hành \(AMND\) có \(AM = AD\) nên \(AMND\) là hình thoi

Suy ra đường chéo \(AN\) là đường phân giác của \(\widehat {DAM}\) hay \(\widehat {DAB}.\)

c) Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có tứ giác \(AMCN\) là hình bình hành.

Suy ra \(AN\,{\rm{//}}\,CM\) hay \(PN\,{\rm{//}}\,QM\).

Do \(DMBN\) là hình bình hành nên \(DM\,{\rm{//}}\,BN\) hay \(PM\,{\rm{//}}\,QN\).

Tứ giác \[PMQN\] có \(PN\,{\rm{//}}\,QM\)và \(PM\,{\rm{//}}\,QN\) nên \[PMQN\] là hình bình hành.

Lại có \(AMND\) là hình thoi nên \(AN \bot DM\) hay \(\widehat {MPN} = 90^\circ \).

Do đó hình bình hành \[PMQN\] là hình chữ nhật.

Để \[PMQN\] là hình vuông thì \(PM = PN\,\,\,\left( * \right)\)

Mà \(PM = \frac{1}{2}DM\) và \(PN = \frac{1}{2}AN\) (do \(AMND\) là hình thoi nên \(P\) là trung điểm của hai đường chéo).

Do đó để \(\left( * \right)\) xảy ra thì \(DM = AN\) hay hình thoi \(AMND\) là hình vuông, khi đó \(\widehat {DAM} = 90^\circ .\)

Hình bình hành \(ABCD\) có \(\widehat {DAM} = 90^\circ \) thì sẽ trở thành hình chữ nhật.

Vậy để \[PMQN\] là hình vuông thì \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.

Thật vậy, khi \(ABCD\) là hình vuông thì hình chữ nhật \[PMQN\] có \(PM = PN\) nên là hình vuông.