Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB < AC\,,\) đường cao \(AH\,.\) Từ \(H\) kẻ \(HM \bot AB\,\,\left( {M \in AB} \right)\,.\) Kẻ \(HN \bot AC\,\,\left( {N \in AC} \right)\,.\)

a) Chứng minh tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật .

b) Trên tia đối của tia \[MH\] lấy điểm \[P\] sao cho \[M\] là trung điểm của \[PH.\] Chứng minh tứ giác \(APMN\) là hình bình hành.

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HC\,,\) lấy \(K\) trên tia \(AI\) sao cho \(I\) là trung điểm của \(AK\,.\) Chứng minh \(MNCK\) là hình thang cân.

d) \(MN\) cắt \(AH\) tại \(O,\) \(CO\) cắt \(AK\) tại \(D\,.\) Chứng minh \(AK = 3AD\,.\)

a) Chu vi mảnh đất làm nhà là: \(2\left( {x - 25 + x - 15} \right) = 2\left( {2x - 40} \right) = 4x - 80\).

Vậy đa thức biểu thị chu vi của mảnh đất làm nhà \(4x - 80\) (m).

b) Vì chu vi của mảnh đất dành để làm nhà bằng \[40\,\,{\rm{m}}\] nên ta có

\(4x - 80 = 40\) hay \(4x = 120\) nên \(x = 30\).

Diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[{30^2} = 900{\rm{ }}({{\rm{m}}^{\rm{2}}}).\]

Vậy diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu là \[900{\rm{ }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]

Diện tích của ao hình chữ nhật là: \({S_1} = x\left( {x + 200} \right) = {x^2} + 200x\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích miếng đất hình vuông là:

\({S_2} = {\left( {x + 400} \right)^2} = {x^2} + 800x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích phần đất còn lại sau khi đã đào ao là:

\[S = {S_2} - {S_1}\]\[ = \left( {{x^2} + 800x + 160\,\,000} \right) - \left( {{x^2} + 200x} \right)\]

\[ = {x^2} + 800x + 160\,\,000 - {x^2} - 200x\]

\[ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + 800x + \left( {160\,\,000 - 200x} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {800x - 200x} \right) + 160\,\,000\]

\[ = 600x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].

Vậy tính diện tích phần đất còn lại sau khi đào ao là \[600x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\]