Bài 19. Khu vườn của nhà bác Hoa có dạng hình vuông. Bác Hoa muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn làm nhà để dụng cụ làm vườn (hình vẽ). a) Viết đa thức biểu thị chu vi của mảnh đất làm nhà. b) Biết chu vi của mảnh đất dành để làm nhà bằng \[40\,\,{\rm{m}}\]. Tính diện tích của khu vườn hình vuông ban đầu.

a) Xét tứ giác \(AMHN\) có \(\widehat {AMH} = \widehat {MAN} = \widehat {ANH} = {\rm{90^\circ }}\) Do đó tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật. b) Tứ giác \[AMHN\] là hình chữ nhật nên \(AN = MH\) Mà \(PM = MH\)(do \[M\] là trung điểm của \[PH\,)\] nên\(AN = PM.\) Ta lại có \(AN\,{\rm{//}}\,PM\)(do \(AN \bot AB\,;PM \bot AB\,).\) Do đó tứ giác \(APMN\) là hình bình hành.

c) Vì \(NC\parallel MK\) nên tứ giác \(MNCK\) là hình thang.

Tứ giác \(AHKC\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm \(I\) của mỗi đường nên là hình bình hành nên \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\).         \(\left( 1 \right)\)

Tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

Khi đó \(OA = ON = OM = OH\) nên \(\Delta OMH\) cân tại \(O\,.\)

Suy ra \(\widehat {OMH} = \widehat {OHM}\) mà \(\widehat {OAN} = \widehat {OHM}\) ( so le trong)

Do đó \(\widehat {OAN} = \widehat {OMH}\)       \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {OMH} = \widehat {HKC}\).

Hình thang \(MNCK\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

d) Vì \(\Delta AHC\) có hai đường trung tuyến \(AI,\,\,CO\) cắt nhau tại \(D\) nên \(D\) là trọng tâm nên

\(AD = \frac{2}{3}AI\) mà \(AI = \frac{1}{2}AK\).

Thay vào ta được \(AD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\) nên \(AK = 3AD\).

Diện tích của ao hình chữ nhật là: \({S_1} = x\left( {x + 200} \right) = {x^2} + 200x\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích miếng đất hình vuông là:

\({S_2} = {\left( {x + 400} \right)^2} = {x^2} + 800x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Diện tích phần đất còn lại sau khi đã đào ao là:

\[S = {S_2} - {S_1}\]\[ = \left( {{x^2} + 800x + 160\,\,000} \right) - \left( {{x^2} + 200x} \right)\]

\[ = {x^2} + 800x + 160\,\,000 - {x^2} - 200x\]

\[ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + 800x + \left( {160\,\,000 - 200x} \right)\]

\[ = \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {800x - 200x} \right) + 160\,\,000\]

\[ = 600x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].

Vậy tính diện tích phần đất còn lại sau khi đào ao là \[600x + 160\,\,000\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}{\rm{.}}\]