Cho hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat A = 60^\circ \), kẻ \(BH \bot AD{\rm{ }}\left( {H \in AD} \right)\), rồi kéo dài một đoạn \(HE = HB.\) Nối \(E\) với \(A\), \(E\) với \(D\).

          a) \(H\) là trung điểm của \(AD\).

          b) \(ABDE\) là hình thoi.

          c) \(D\) là trung điểm \(CE.\)

            d) \(AC > BE.\)

a) Đúng.

Theo đề, ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (giả thiết) (1)

Lại có: \(\widehat {EDC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\).

b) Sai.

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEC\), có:

\(AB = DE\) (gt)

\(BC = DE\) (gt)

\(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\) (cmt)

Do đó, \(\Delta ABC = \Delta EDC\) (c.g.c).

c) Đúng.

Vì \(\Delta ABC = \Delta EDC\) (cmt) nên \(AC = EC\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó, \(\Delta CAE\) là tam giác cân tại \(C\).

d) Đúng.

Vì \(\Delta CAE\) là tam giác câm tại \(C\) nên \(\widehat {CEA} = \widehat {CAE}\) (*)

Lại có \(\Delta ABC = \Delta EDC\) nên \(\widehat {BAC} = \widehat {DEC}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {CAE}\).

Do đó, \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat {BAD}\).

Đáp án: 24

Vì tam giác vuông \(AHD\) có \(\widehat {ADH} = 45^\circ \) nên \(\Delta AHD\) là tam giác vuông cân.

Do đó, \(HD = HA = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có \(ABHK\) là hình bình hành \(\left( {AB\parallel HK} \right)\) có \(\widehat {AHK} = \widehat {HKB} = 90^\circ \), do đó \(ABHK\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK = 4{\rm{ cm,}}\) \(AB = HK = 2{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Vì \(ABCD{\rm{ }}\left( {AB\parallel CD} \right)\) là hình thang cân nên \(\widehat {ADH} = \widehat {BCK} = 45^\circ \).

Do đó, \(\Delta BKC\) cũng là tam giác vuông cân nên \(KB = KC = 4{\rm{ cm}}\).

Ta có: \(DC = DH + HK + KC = 4 + 2 + 4 = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy diện tích hình thang cân \(ABCD\) là: \(\frac{{\left( {AB + DC} \right) \cdot AH}}{2} = \frac{{\left( {2 + 10} \right) \cdot 4}}{2} = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).