Cho tam giác \[ABC\] nhọn. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\]. Trên tia đối của tia \[MB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[MD = MB\].
a) Chứng minh \[\Delta AMB = \Delta CMD\].
b) Chứng minh \[AD\parallel BC\].
c) Kẻ \[{\rm{MH}} \bot {\rm{AB}}\] và \[{\rm{MK}} \bot {\rm{DC}}\]. Chứng minh \[{\rm{M}}\] là trung điểm của \[{\rm{HK}}\].
Cho tam giác \[ABC\] nhọn. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\]. Trên tia đối của tia \[MB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[MD = MB\].
a) Chứng minh \[\Delta AMB = \Delta CMD\].
b) Chứng minh \[AD\parallel BC\].
c) Kẻ \[{\rm{MH}} \bot {\rm{AB}}\] và \[{\rm{MK}} \bot {\rm{DC}}\]. Chứng minh \[{\rm{M}}\] là trung điểm của \[{\rm{HK}}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
![Chứng minh \[\Delta AMB = \Delta CMD\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/23-1758590592.png)
a) Xét \[\Delta AMB\] và \[\Delta CMD\] có:
\[MD = MB\] (giả thiết)
\[\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\] (2 góc đối đỉnh)
\[MA = MC\] (giả thiết)
Suy ra \[\Delta AMB = \Delta CMD\] (c.g.c)
b) Xét \[\Delta AMD\] và \[\Delta CMB\] có: \[MD = MB\] (giả thiết), \[\widehat {AMD} = \widehat {CMB}\] (đối đỉnh), \[MA = MC\] (giả thiết)
Vậy \[\Delta AMD = \Delta CMB\] (c.g.c) suy ra \[\widehat {ADM} = \widehat {CBM}\] (hai góc tương ứng), mà hai góc này lại ở vị trí sole trong nên \[AD\,{\rm{//}}\,BC\] (dấu hiệu nhận biết)
c) Ta có: \[\Delta AMB = \Delta CMD\] (chứng minh trên) suy ra \[\widehat {MAB} = \widehat {MCD}\] (hai góc tương ứng) mà hai góc này lại ở vị trí sole trong nên \[AB\,{\rm{//}}\,\,CD\] (1)
Ta lại có: \[MH \bot AB\] (giả thiết) (2). Từ (1) và (2) suy ra \[MH \bot CD\] và \[MK \bot DC\] (giả thiết) suy ra 3 điểm \[H,M,K\] thẳng hàng (định lý)
Xét \[\Delta AMH\] và \[\Delta CMK\] có:
\[\widehat {AHM} = \widehat {MKC} = 90^\circ \] (giả thiết)
\[AM = MC\] (giả thiết)
\[\widehat {AMH} = \widehat {CMK}\] (đối đỉnh)
Vậy \[\Delta AMH = \Delta CMK\] (ch – gn) suy ra \[AM = MC\] hay \[M\] là trung điểm \[HK\].
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Kẻ đường thẳng qua \(C\) và song song với \[AB\].
Mà \(AB\,{\rm{//}}\,DE\) nên đường thẳng đó cũng song song với \[DE\].
Do đó \({\widehat C_1} + \widehat {ABC} = 180^\circ \) và \(\widehat {{C_2}} + \widehat {CDE} = 180^\circ \) (hai góc trong cùng phía)
Do đó, \[{\widehat C_1} = 60^\circ \] và \[\,{\widehat C_2} = 45^\circ \].
Suy ra \[\widehat {BCD} = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \].
Lời giải
a) Vì \(CD\) là phân giác \(\widehat {BCA}\) suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\).
Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta ECD\) có:
\(AC = AF\,;\,\,\widehat {BCD} = \widehat {ACD}\,;\,\,CD\) chung.
Do đó \(\Delta ACD = \Delta ECD\) (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {CED} = \widehat {CAD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(DE \bot BC\).
b) Vì \(AM\parallel CD\) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {DCA}\) (hai góc so le trong)
Vì \(CM \bot CA\) nên \(\widehat {MCA} = 90^\circ \).
Xét \(\Delta CAD\) và \(\Delta ACM\) có:
\(\widehat {DAC} = \widehat {MCA} = 90^\circ \,;\,\,CA\) chung; \(\widehat {DCA} = \widehat {MAC}\).
Do đó \(\Delta CAD = \Delta ACM\) (g.c.g).
Suy ra (hai cạnh tương ứng).
c) Xét tam giác \(NBC\) và tam giác \(NKC\) có:
\(\widehat {BNC} = \widehat {KNC} = 90^\circ \,;\,\,NC\) chung; \(\widehat {BCN} = \widehat {CKN}\)
Suy ra \(\Delta NBC = \Delta NKC\,\)(g.c.g)
Do đó \(\widehat {NBC} = \widehat {NKC}\,;\,\,NB = NK\).
Xét tam giác \(NBD\) và tam giác \(NKD\) có:
\(NB = ND\,;\,\,\widehat {BND} = \widehat {KND}\,;\,\,ND\) chung.
Suy ra \(\Delta NBD = \Delta NKD\) (c.g.c).
Do đó, \(\widehat {NBD} = \widehat {NKD}\) (hai góc tương ứng)
d) Xét tam giác \(BKE\) và tam giác \(BKC\) có:
\[\widehat {BKE} = \widehat {BKA}\,;\,\,BK\] chung; \[\widehat {BKE} = \widehat {KBA}\].
Do đó \(\Delta BKE = \Delta BKC\) (g.c.g)
Suy ra \(\widehat {BEK} = \widehat {KAB} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)
Suy ra \(KE \bot BC\).
Mà \(DE \bot AC\).
Suy ra ba điểm \(K,\,D,\,E\) thẳng hàng.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo