Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của BI. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AI} ;\)                         

b) \(\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \,.\)

Cho tam giác ABC có \(\widehat A = 120^\circ ,b = 8,c = 5\). Tính:

a) Cạnh a và các góc \(\widehat B,\widehat C\).

b) Diện tích tam giác ABC.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Biểu diễn các tập hợp sau trên trục số và tìm \(A \cap B;A \cup B;A\backslash B\).

a) \(A = \left[ { - 3;5} \right)\) và \(B = \left[ {1; + \infty } \right)\).

b) \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \le 3} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 < x < 2} \right\}\).

Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau

a) \(2x - 4y \ge 6\);                                                                b) \(x - 3y < 0\).

Cho các tập hợp \(A = \left( { - \infty ;m} \right)\) và \(B = \left[ {3m - 1;3m + 3} \right]\). Tìm \(m\) để:

a) \(A \cap B = \emptyset \);                                                b) \(B \subset A\).

Tính giá trị của các biểu thức sau

a) \(M = \sin 45^\circ .\cos 45^\circ + \sin 30^\circ \); 

b) \(Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}120^\circ }} - {\cot ^2}120^\circ \).

Cho 5 điểm \(A,B,C,D,E\). Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} \).

b) \(\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {ED} \).