Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {1\,;2\,;3} \right),\,\,B\left( { - 2\,; - 4\,;9} \right)$. Điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ sao cho $MA = 2MB$. Độ dài đoạn thẳng $OM$ là

A. $5$.

B. $3$.

C. $\sqrt {54} $.

D. $\sqrt {17} $.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Đặt $M\left( {x\,;y\,;z} \right)$, khi đó: $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x\,;2 - y\,;3 - z} \right)$ và $\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - x\,; - 4 - y\,;9 - z} \right)$.

Ta có: $MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y = - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z = - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\\z = 7\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)$.

Khi đó: $\overrightarrow {OM} = \left( { - 1\,; - 2\,;7} \right)$. Vậy \[OM = \sqrt {54} \].

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn điều kiện $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.$ Độ dài vectơ $3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b $ là

A. $5\sqrt 5 .$

B. $\sqrt {124} .$

C. 8.

D. 124.

Lời giải

Chọn B

${\left( {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\overrightarrow b ^2}$ $ = 9 + 90 + 25 = 124$$ \Rightarrow \left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124} $.

Câu 2

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD,\] mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^\circ $. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ và trọng lượng của khung sắt là $3000\;{\rm{N}}$.

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD (ảnh 1)$

a) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

b) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

c) $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 8141\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là $16282\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Lấy các điểm $M,N,P,Q$lần lượt trên các tia $EA,EB,EC,ED$ sao cho

$\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {EP} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {EQ} = \overrightarrow {{F_4}} {\rm{. }}$

Do các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ nên $EM = EN = EP = EQ = 4700$.

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD (ảnh 2)$

a) Sai. Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} = 2\overrightarrow {EH} $, với $H$ là trung điểm của $MN$.

$\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EP} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EK} $, với $K$ là trung điểm của \[PQ\] suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \ne \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EP} = 2\overrightarrow {EO} $, với $O$ là trung điểm của $MP$.

$\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EO} ,$ với $O$ là trung điểm của \[MP\] suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

c) Đúng. $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = |2\overrightarrow {EO} | = 2EO$. Theo giả thiết, góc giữa $EA$với $\left( {ABCD} \right)$ bằng $60^\circ $ nên góc giữa $EM$với $\left( {MNPQ} \right)$ cũng bằng $60^\circ $ hay $\widehat {SMO} = 60^\circ $.

Xét $\Delta EMO$ có $EM = 4700,\widehat {\,SMO} = 60^\circ $ suy ra $EO = EM\sin 60^\circ = 2350\sqrt 3 $.

d) Đúng. Từ đây ta tính được $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2EO = 8141\;{\rm{N}}$.

Câu 3