Câu hỏi:

27/09/2025 102

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với \[ABFE\] là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6$m;$AE = 5$m; $AD = 8$m; $QT = 7$m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn \[AD\] sao cho $OA = 2$m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

$a) Toạ độ điểm $Q$ là $\left( { - 6;3;5} \right)$. (ảnh 1)$

a) Toạ độ điểm $Q$ là $\left( { - 6;3;5} \right)$.

b) Vectơ $\overrightarrow {OC} $ có toạ độ là $\left( { - 6;6;0} \right)$.

c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$. Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng $5 + 2\sqrt {10} $m.

d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là $130.000$ đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là $3.750.000$ đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$a) Toạ độ điểm $Q$ là $\left( { - 6;3;5} \right)$. (ảnh 2)$

a) Sai. Kẻ $TM \bot Oy$, $CN \bot Oy$.

Vì $T$ là hình chiếu của $Q$ lên $\left( {Oxy} \right)$ nên

$\left\{ \begin{array}{l}{x_Q} = {x_T} = - OD = - \left( {AD - OA} \right) = - 6\\{y_Q} = {y_T} = OH = \frac{{AB}}{2} = 3\end{array} \right.$.

${z_Q} = QT = 7$

Suy ra $Q\left( { - 6;\,3;\,7} \right)$.

b) Đúng. Vì $C \in \left( {Oxy} \right)$ nên ${z_C} = 0$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - OD = - 6\\{y_C} = ON = AB = 6\end{array} \right.$. Suy ra $C\left( { - 6;\,6;\,0} \right)$. Vậy $\overrightarrow {OC} = \left( { - 6;\,6;\,0} \right)$.

c) Đúng Gọi $L$ là trung điểm của $FG$.

Ta có: ${z_K} = OK = AE = 5$.

Suy ra $K\left( {0;\,0;\,5} \right)$.

$ \Rightarrow OK = 5$.

$B$, $C$ lần lượt là hình chiếu của $F$, $G$ lên $\left( {Oxy} \right)$.

Suy ra $F\left( {2;\,6;\,5} \right)$, $G\left( { - 6;\,6;\,5} \right)$.

Mà $L$ là trung điểm của $FG$ nên $L\left( { - 2;\,6;\,5} \right)$$ \Rightarrow KL = 2\sqrt {10} $.

Vậy độ dài đoạn cáp tối thiểu từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera là

$OK + KL = 5 + 2\sqrt {10} $ (m)

d) Sai. $FG = \sqrt {{{\left( { - 6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 6} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2}} = 8$ (m) .

$GQ = \sqrt {{{\left( { - 6 + 6} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {13} $ (m).

Suy ra ${S_{FGQP}} = FG \cdot GQ = 8\sqrt {13} $ $\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Diện tích lợp tôn mái nhà là $2{S_{FGQP}} = 16\sqrt {13} $ $\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là

$16\sqrt {13} \cdot 130\,000 \approx 7\,500\,000$ (đồng).

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn điều kiện $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.$ Độ dài vectơ $3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b $ là

A. $5\sqrt 5 .$

B. $\sqrt {124} .$

C. 8.

D. 124.

Lời giải

Chọn B

${\left( {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\overrightarrow b ^2}$ $ = 9 + 90 + 25 = 124$$ \Rightarrow \left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124} $.

Câu 2

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD,\] mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^\circ $. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ và trọng lượng của khung sắt là $3000\;{\rm{N}}$.

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD (ảnh 1)$

a) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

b) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

c) $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 8141\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là $16282\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Lấy các điểm $M,N,P,Q$lần lượt trên các tia $EA,EB,EC,ED$ sao cho

$\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {EP} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {EQ} = \overrightarrow {{F_4}} {\rm{. }}$

Do các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ nên $EM = EN = EP = EQ = 4700$.

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD (ảnh 2)$

a) Sai. Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} = 2\overrightarrow {EH} $, với $H$ là trung điểm của $MN$.

$\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EP} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EK} $, với $K$ là trung điểm của \[PQ\] suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \ne \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EP} = 2\overrightarrow {EO} $, với $O$ là trung điểm của $MP$.

$\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EO} ,$ với $O$ là trung điểm của \[MP\] suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

c) Đúng. $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = |2\overrightarrow {EO} | = 2EO$. Theo giả thiết, góc giữa $EA$với $\left( {ABCD} \right)$ bằng $60^\circ $ nên góc giữa $EM$với $\left( {MNPQ} \right)$ cũng bằng $60^\circ $ hay $\widehat {SMO} = 60^\circ $.

Xét $\Delta EMO$ có $EM = 4700,\widehat {\,SMO} = 60^\circ $ suy ra $EO = EM\sin 60^\circ = 2350\sqrt 3 $.

d) Đúng. Từ đây ta tính được $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2EO = 8141\;{\rm{N}}$.

Câu 3