Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng \(ABFPE.DCGQH\) với \[ABFE\] là hình chữ nhật và  \(EFP\) là tam giác cân tại \(P\). Gọi \[T\] là trung điểm của \[DC\]. Các kích thước của kho chứa lần lượt là \(AB = 6\)m;\(AE = 5\)m; \(AD = 8\)m; \(QT = 7\)m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm \(O\) thuộc đoạn \[AD\] sao cho \(OA = 2\)m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

a) Toạ độ điểm \(Q\) là \(\left( { - 6;3;5} \right)\).

b) Vectơ \(\overrightarrow {OC} \) có toạ độ là \(\left( { - 6;6;0} \right)\).

c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của \(FG\) và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí \(O\). Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ \(O\) đến \(K\) sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng \(5 + 2\sqrt {10} \)m.

d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là \(130.000\) đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là \(3.750.000\) đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian, cho tứ diện \[ABCD\] có trọng tâm \[G\].

a) \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \].

b) \[\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right)\].

c) \[\overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \].

d) \[\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right)\].

Hai chiếc khinh khí cầu cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 100 km và về phía Nam 80 km, đồng thời cách mặt đất 1 km. Chiếc khinh khí cầu thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 70 km và về phía Tây 60 km, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Xác định khoảng cách giữa chiếc khinh khí cầu thứ nhất và chiếc khinh khí cầu thứ hai (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của kilomet).

B. Tự luận

Cho hình lập phương\(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(5\).

a) Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD'} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

b) Tính các tích vô hướng:\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} \); \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {BD} \).

c) Chứng minh \(\overrightarrow {AC'} \) vuông góc với \(\overrightarrow {BD} \).

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD,\] mặt phẳng \((ABCD)\) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc \(E\) của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA,EB,EC,ED\) có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \((ABCD)\) một góc bằng \(60^\circ \). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4700\;{\rm{N}}\) và trọng lượng của khung sắt là \(3000\;{\rm{N}}\).

a) \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {{F_3}}  + \overrightarrow {{F_4}} \).

b) \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_4}} \).

c) \(\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 8141\;{\rm{N}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là \(16282\;{\rm{N}}\) (làm tròn đến hàng đơn vị).

    Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9h30'. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

a) Máy bay đang ở độ cao 9 km.

b) Tọa độ của máy bay lúc 9h30' là \(\left( {150;300;9} \right)\).

c) Phi công để máy bay ở chế độ tự động và bay theo hướng đông, độ cao không đổi lúc 10h30' máy bay ở tọa độ \(\left( {150;1086;9} \right)\). Khi đó vận tốc của máy bay là \(776{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\), biết vận tốc gió theo hướng đông là \(10{\rm{\;m/s}}\).

d) Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì sau khi bay đến vị trí lúc 10h30' thì máy bay bay ngược lại (hướng Tây) với vận tốc \(800{\rm{\;km/h}}\) với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11h máy bay cách gốc tọa độ một khoảng 723 km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm \(t = 0\), flycam ở vị trí \(A\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và sau 10 phút nó ở vị trí \(B\left( {21;\,32;\,33} \right)\).

a) Flycam không bay qua vị trí \[D\left( {5;\,8;\,9} \right)\].

b) Vectơ vận tốc của flycam có tọa độ là \(\overrightarrow v  = \left( {20;\,30;\,30} \right)\).

c) Độ lớn của vận tốc flycam là \(\sqrt {22} \) (m/phút).

d) Sau 15 phút vị trí flycam là \(C\left( {31;\,47;\,48} \right)\).