Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông và tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách $O\;25\;{\rm{km}}$ về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B( - 20;15;0)$.

a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.

b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.

d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí Cách $O$$\;15\;{\rm{km}}$ về phía nam.

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt 3 \;{\rm{km}}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 12 Kết nối tri thức Chương 2 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Sai. Tàu thám hiểm ở vị trí $A(25; - 15; - 10)$

Khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là $OA = \sqrt {{{25}^2} + {{15}^2} + {{10}^2}} = 5\sqrt {38} \approx 30,8\;{\rm{km}}$.

b) Đúng. Radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi là 30 km, mà khoảng cách từ tàu thám hiểm đến radar là 30,8 $ > 30$ nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

c) Đúng. Khoảng cách từ tàu đánh cá đến radar là

$OB = \sqrt {{{20}^2} + {{15}^2}} = 25\;{\rm{km}} < 30\;{\rm{km}}$.

Vậy radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.

d) Đúng. Giả sử chiếc tàu của cảnh sát biển ở vị trí $C(15;y;0)$.

Khoảng cách từ tàu của cảnh sát biển đến radar là $OC = \sqrt {{{15}^2} + {y^2}} $

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển thì: $OC < 30 \Leftrightarrow {15^2} + {y^2} < {30^2} \Leftrightarrow - 15\sqrt 3 < y < 15\sqrt 3 $.

Vậy để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt 3 \;{\rm{km}}{\rm{.}}$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn điều kiện $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.$ Độ dài vectơ $3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b $ là

A. $5\sqrt 5 .$

B. $\sqrt {124} .$

C. 8.

D. 124.

Lời giải

Chọn B

${\left( {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\overrightarrow b ^2}$ $ = 9 + 90 + 25 = 124$$ \Rightarrow \left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124} $.

Câu 2

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD,\] mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^\circ $. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ và trọng lượng của khung sắt là $3000\;{\rm{N}}$.

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD (ảnh 1)$

a) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

b) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

c) $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 8141\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là $16282\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Lời giải

Lấy các điểm $M,N,P,Q$lần lượt trên các tia $EA,EB,EC,ED$ sao cho

$\overrightarrow {EM} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {EP} = \overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {EQ} = \overrightarrow {{F_4}} {\rm{. }}$

Do các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ nên $EM = EN = EP = EQ = 4700$.

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \[ABCD (ảnh 2)$

a) Sai. Ta có: $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} = 2\overrightarrow {EH} $, với $H$ là trung điểm của $MN$.

$\overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EP} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EK} $, với $K$ là trung điểm của \[PQ\] suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \ne \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

b) Đúng. Ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EP} = 2\overrightarrow {EO} $, với $O$ là trung điểm của $MP$.

$\overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EQ} = 2\overrightarrow {EO} ,$ với $O$ là trung điểm của \[MP\] suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}} $.

c) Đúng. $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = |2\overrightarrow {EO} | = 2EO$. Theo giả thiết, góc giữa $EA$với $\left( {ABCD} \right)$ bằng $60^\circ $ nên góc giữa $EM$với $\left( {MNPQ} \right)$ cũng bằng $60^\circ $ hay $\widehat {SMO} = 60^\circ $.

Xét $\Delta EMO$ có $EM = 4700,\widehat {\,SMO} = 60^\circ $ suy ra $EO = EM\sin 60^\circ = 2350\sqrt 3 $.

d) Đúng. Từ đây ta tính được $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 2EO = 8141\;{\rm{N}}$.

Câu 3