Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f(x) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\] trên nửa khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

a)  Khi \(m = 0\) thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \(2\).

Thay \(m = 0\)vào \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\), ta có \(y = \frac{{{x^2} + 1}}{x} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\).

            b)  Ta có \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{(x + m)}^2}}}\).

\( + y' = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - m - 1;\,(\,x \ne  - m)\\x =  - m + 1;\,(\,x \ne  - m)\end{array} \right.\).

 \( \Rightarrow y' = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x \ne  - m,\,\,\forall m\). Vậy hàm số luôn có 2 cực trị.

c) \( + y' = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - m - 1\\x =  - m + 1\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: \(\mathop {max}\limits_{\left( { - \infty ; - m} \right)} y =  - 2 - m\,\,;\,\,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left( { - m; + \infty } \right)} y = 2 - m \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( { - m; + \infty } \right)} y - \mathop {{\mathop{\rm m}\nolimits} ax}\limits_{\left( { - \infty ; - m} \right)} y = 4\).

d) Khi \(m =  - 3\)thay vào \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\), ta có \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}}\).

            + Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 3}}\) là hàm phân thức hữu tỉ, liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

            Mặt khác \(\left[ { - 1;2} \right] \subset \left( { - \infty ;3} \right) \Rightarrow \)hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

            + Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{{(x - 3)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;2} \right)\) và \(y(2) = 1\).

Vì hàm số tăng trên \(\left( { - 1;2} \right)\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất \(\mathop {max}\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y(2) = 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra

a) \(m =  - 4\).

b) \(M = 0\).

c)\(M + m = 0 + ( - 4) =  - 4\).

d) Với \(\forall x \in \left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\), ta có: \(f\left( x \right) \le 0 \Rightarrow f\left( x \right) + 4 \le 4\) và \(f\left( x \right) + 4 = 4 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) + 4\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 1\,;\, + \infty } \right)\) là \(4\).