Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA;\,EB;\,EC;\,ED$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$một góc $\alpha $. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ;\,\overrightarrow {{F_2}} ;\,\overrightarrow {{F_3}} ;\,\overrightarrow {{F_4}} $ đều có cường độ là $4800\,N$, trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là $7200\sqrt 6 \,N$. Tính $\sin \alpha $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc $E$ của chiếc (ảnh 1)$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Vectơ trong không gian (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$, mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc $E$ của chiếc (ảnh 2)$

Gọi ${A_1};\,{B_1};\,{C_1};\,{D_1}$ là các điểm thỏa mãn : $\overrightarrow {E{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\,\,\overrightarrow {E{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\,\,\overrightarrow {E{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} ;\,\,\overrightarrow {E{D_1}} = \overrightarrow {{F_4}} $.

Vì $EA;\,EB;\,EC;\,ED$ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$một góc $\alpha $ nên $E{A_1};\,E{B_1};\,E{C_1};\,E{D_1}$ cũng bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$một góc $\alpha $.

Mặt khác $ABCD$ là hình chữ nhật nên ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ cũng là hình chữ nhật có tâm O.

Từ các điều kiện trên ta suy ra $EO \bot \left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)$. Khi đó $\alpha = \left( {E{A_1};\,\left( {{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}} \right)} \right) = \widehat {E{A_1}O}$.

Ta có: \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \,\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\,\overrightarrow {{F_4}} } \right| = 4800N\] nên $E{A_1} = E{B_1} = E{C_1} = E{D_1} = 4800$

Xét tam giác $E{A_1}O$ vuông tại O nên $EO = E{A_1}.\sin \alpha = 4800.\sin \alpha $.

Ta có: \[\overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {E{A_1}} + \overrightarrow {E{B_1}} + \overrightarrow {E{C_1}} + \overrightarrow {E{D_1}} = 4\overrightarrow {EO} \].

Mặt khác : \[\overrightarrow {{F_1}} + \,\overrightarrow {{F_2}} + \,\overrightarrow {{F_3}} + \,\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow P \] với \[\overrightarrow P \] là trọng lực tác động lên khung chứa xe ô tô.

Suy ra: \[\overrightarrow P = 4\overrightarrow {EO} \].

Trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là \[|\overrightarrow P | = 4EO = 19200.\sin \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\left( N \right)\].

Theo bài ra ta có: \[19200.\sin \alpha = 7200\sqrt 6 \, \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{3\sqrt 6 }}{8} \approx 0,92\].

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$,$M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SB} } \right)$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tứ diện đều $S.ABC$ cạnh $a$,$M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SB} } \right)$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (ảnh 1)$

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A M} . \vec{S B} = (\vec{S M} - \vec{S A}) . \vec{S B} = \vec{S M} . \vec{S B} - \vec{S A} . \vec{S B} = S M . S B . \cos \hat{B S M} - S A . S B . \cos \hat{A S B} \\ = \frac{a \sqrt{3}}{2} . a . \cos 30^{°} - a . a . \cos 60^{°} \\ = \frac{a^{2}}{4} \end{array}$

Suy ra: $\cos (\vec{A M}, \vec{S B}) = \frac{\vec{A M} . \vec{S B}}{A M . S B} = \frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{a \sqrt{3}}{2} . a} = \frac{\sqrt{3}}{6} \approx 0, 29$

Câu 2

PHẦN 2: CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Trong không gian cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh là $a$. Gọi $O$là giao điểm của $BD$ và $AC$.

a) Vectơ \[\overrightarrow {A'C} - \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \]

b) Vectơ \[\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'C'} \].

c) Vectơ \[\overrightarrow {C'O} = \overrightarrow {C'A'} - \overrightarrow {OA'} \]

d) $\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {A'B} = 0$

Xem đáp án

Lời giải

$Trong không gian cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài cạnh là $a$. Gọi $O$là giao điểm của $BD$ và $AC$. (ảnh 1)$

Ý a) Đúng: Vì \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'C} - \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {AC} \\\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {A'C} - \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \]

Ý b) Sai: Vì \[\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {B'C'} \].

Ý c) Đúng: Vì \[\overrightarrow {C'O} = \overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {A'O} = \overrightarrow {C'A'} - \overrightarrow {OA'} \].

Ý d) Sai: Ta có: $\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {A'B} = \left| {\overrightarrow {A'D} } \right|.\left| {\overrightarrow {A'B} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {A'D} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = a\sqrt 2 .a\sqrt 2 .c{\rm{os}}60^\circ = {a^2}$

Câu 3