Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật \(ABCD\), mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được đặt vào móc \(E\) của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp \(EA;\,EB;\,EC;\,ED\) bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)một góc \(\alpha \). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ;\,\overrightarrow {{F_2}} ;\,\overrightarrow {{F_3}} ;\,\overrightarrow {{F_4}} \) đều có cường độ là \(4800\,N\), trọng lượng của cả khung sắt chứa xe ô tô là \(7200\sqrt 6 \,N\). Tính \(\sin \alpha \) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

                                             

Cho tứ diện đều \(S.ABC\) cạnh \(a\),\(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SB} } \right)\) (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow x ;\,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow y ;\,\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow z \). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây:

a) \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow x  + \overrightarrow y  + \overrightarrow z \).

b) \(\overrightarrow {A'B}  = \overrightarrow x  + \overrightarrow z \)

c)Góc giữa véc tơ  \(\overrightarrow {BA'} \) và véc tơ \(\overrightarrow {A'C'} \) bằng \({60^\bigcirc }\).

d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Độ dài véc tơ \(\overrightarrow {A'M} \) bằng \(\frac{{3a}}{2}\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(SA = 4,AB = 1,AD = 2\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {SC} \) và \(\overrightarrow {DM} \).

PHẦN 2: CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Trong không gian cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài cạnh là \(a\). Gọi \(O\)là giao điểm của \(BD\) và \(AC\).

a) Vectơ \[\overrightarrow {A'C} - \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \]

b) Vectơ \[\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'C'} \].

c) Vectơ \[\overrightarrow {C'O} = \overrightarrow {C'A'} - \overrightarrow {OA'} \]

d) \(\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {A'B} = 0\)

Cho tứ diện đều\(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau đây:

a) \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \).

b) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \).

c)\(\overrightarrow {CG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \).

d) Gọi \(I\) là điểm thuộc đoạn \(AG\) và thỏa mãn \(AI = 3IG\). Khi đó \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = \overrightarrow 0 \).