Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(B'C'D'\), \(I\) là trung điểm của \(AB'\) .

                           

a) \(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} \).

b) \(\overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GA'} \).

c) \[6\overrightarrow {IG}  = 3\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + 4\overrightarrow {AD} \;.\]

d) \[cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\].

Ý a) sai: Theo qui tắc hiệu ta có \(\overrightarrow {DA'}  = \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} \) mà \(\overrightarrow {A'D}  \ne \overrightarrow {DA'} \)

   Ý b) đúng: ) Tứ giác\(ABB'A'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} \)

Theo qui tắc hiệu ta có \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {GA'}  - \overrightarrow {GA} \,;\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {GB'}  - \overrightarrow {GB} \)  vậy \(\overrightarrow {GA'}  - \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GB'}  - \overrightarrow {GB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB}  = \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GA} .\)

Ý c) đúng: Đặt cạnh hình lập phương là \(a\) .

Ta có: \(A'D\, = \,a\sqrt 2 .\)

        \[\begin{array}{l}\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {IB'}  + \overrightarrow {B'G} \, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {B'D'}  + \overrightarrow {B'C'} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \end{array}\]

Suy ra \[6\overrightarrow {IG}  = 3\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + 4\overrightarrow {AD} {\kern 1pt} \,.\]

Ý d) đúng: \[\overrightarrow {IG}  = \,\,\,\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} \]  suy ra  \[{\overrightarrow {IG} ^2} = {\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{18}} \Rightarrow IG = \frac{{a\sqrt {26} }}{6}.\]

\(\overrightarrow {A'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \) và \(A'D = a\sqrt 2 \) .

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right) = \frac{{{a^2}}}{6}.\\cos\left( {\overrightarrow {A'D} \,,\,\overrightarrow {IG} } \right) = \frac{{\overrightarrow {A'D} .\overrightarrow {IG} }}{{A'D.IG}} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{6}}}{{\frac{{a\sqrt {26} }}{6}.a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{26}}.\end{array}\]