Môt chiếc khinh khí cầu bay lên từ địa điểm cho trước. Sau khoảng thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách địa điểm xuất phát \(2,5km\) về hướng nam và \(1,7km\) về hướng đông, đồng thời cách mặt đất là \(0,6km\). Chọn hệ trục toạ độ \(Oxyz\) với gốc \(O\) đặt tại điểm xuất phát của chiếc khinh khí cầu, mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt đất, trục \(Ox\) hướng về nam, trục \(Oy\) hướng về phía đông và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.

Tính khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu (đơn vị lấy theo kilomet và làm tròn đến \(2\) chữ số sau phần thập phân)

Ta có \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Xét \(AC{'^2} = {\overrightarrow {AC'} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)^2}\)

   =\[AA{'^2} + A{B^2} + A{D^2}\]+\(2AA'.AB.\cos \widehat {BAA'}\)+\(2AA'.AD.\cos \widehat {A'AD} + 2AB.AD.\cos \widehat {BAD}\)

 \( = 3{\left( {\sqrt 6 } \right)^2} + 3.2\sqrt 6 .\sqrt 6 .\cos {60^0} = 6\)

Đáp số: \(75,6\)

Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].

Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[G\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Do đó, \[GA = GB = GC = \]\(0,5m\).

Gọi \[F\] là độ lớn của các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) trên mỗi sợi dây. Khi đó, \(F = F\left( L \right)\) là một hàm số với biến số là \(L\).

Theo bài ra ta có \[OA = OB = OC = L\] nên \[OG \bot \left( {ABC} \right)\] và \[\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = L\]

Do đó, \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\]

Vì vậy, tồn tại hằng số \[c \ne 0\] sao cho: \(\overrightarrow {{F_1}}  = c\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {{F_2}}  = c\overrightarrow {OB} ,\,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = c\overrightarrow {OC} \). Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = c\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\).

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \).

Do đó: \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 3c\overrightarrow {OG} \].

Mặt khác ta lại có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \), với \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 20N nên \(\left| {\overrightarrow P } \right| = 27\)\( \Leftrightarrow 3c\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = 27N \Leftrightarrow c = \frac{9}{{OG}}\) .

Tam giác \[OAG\] vuông tại \[G\](do \[OG \bot \left( {ABC} \right)\]) nên ta suy ra \(OG = \sqrt {O{A^2} - G{A^2}}  = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \left( m \right)\) với \(L > 0,5\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}}  \Rightarrow c = \frac{9}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}\).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = c\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}\) (với \(L > 0,5\))

Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 12 N  \( \Rightarrow F\left( L \right) \le 12 \Leftrightarrow \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }} \le 12 \Leftrightarrow 3L \le 4\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \)\( \Leftrightarrow 9{L^2} \le 16{L^2} - 4 \Leftrightarrow 7{L^2} \ge 4 \Rightarrow L \ge \frac{2}{{\sqrt 7 }} \approx 0,756\) (m).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là \(L = 0,756m = 75,6cm\).