Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\)có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh \[\sqrt 6 \] và các góc \(\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^0}\). Tính độ dài \(AC'\)

Đáp số: \(3,08\)

Với hệ trục toạ độ đã chọn thì vị trí hiện tại của khinh khí cầu là \(A\left( {2,5;1,7;0,6} \right)\).

Khi đó khoảng cách từ địa điểm xuất phát đến địa điểm hiện tại của khinh khí cầu là: \(OA = \sqrt {2,{5^2} + 1,{7^2} + 0,{6^2}}  \approx 3,08\left( {km} \right)\)

Đáp số: \(75,6\)

Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].

Vì tam giác \[ABC\] đều nên \[G\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].

Do đó, \[GA = GB = GC = \]\(0,5m\).

Gọi \[F\] là độ lớn của các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) trên mỗi sợi dây. Khi đó, \(F = F\left( L \right)\) là một hàm số với biến số là \(L\).

Theo bài ra ta có \[OA = OB = OC = L\] nên \[OG \bot \left( {ABC} \right)\] và \[\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = L\]

Do đó, \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\]

Vì vậy, tồn tại hằng số \[c \ne 0\] sao cho: \(\overrightarrow {{F_1}}  = c\overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {{F_2}}  = c\overrightarrow {OB} ,\,\,\,\overrightarrow {{F_3}}  = c\overrightarrow {OC} \). Suy ra \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = c\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\).

Theo quy tắc ba điểm ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \).

Do đó: \[\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = 3c\overrightarrow {OG} \].

Mặt khác ta lại có \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \), với \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 20N nên \(\left| {\overrightarrow P } \right| = 27\)\( \Leftrightarrow 3c\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = 27N \Leftrightarrow c = \frac{9}{{OG}}\) .

Tam giác \[OAG\] vuông tại \[G\](do \[OG \bot \left( {ABC} \right)\]) nên ta suy ra \(OG = \sqrt {O{A^2} - G{A^2}}  = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \left( m \right)\) với \(L > 0,5\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {OG} } \right| = \sqrt {{L^2} - 0,{5^2}}  \Rightarrow c = \frac{9}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}\).

Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = c\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }}\) (với \(L > 0,5\))

Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 12 N  \( \Rightarrow F\left( L \right) \le 12 \Leftrightarrow \frac{{9L}}{{\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} }} \le 12 \Leftrightarrow 3L \le 4\sqrt {{L^2} - 0,{5^2}} \)\( \Leftrightarrow 9{L^2} \le 16{L^2} - 4 \Leftrightarrow 7{L^2} \ge 4 \Rightarrow L \ge \frac{2}{{\sqrt 7 }} \approx 0,756\) (m).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là \(L = 0,756m = 75,6cm\).