Cho hình lập phương \[ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \] có cạnh bằng \[a\]. Trên các cạnh \[AA\prime \], \[CC\prime \] lần lượt lấy các điểm \[M\], \[N\] sao cho \[AM = \frac{2}{3}AA\prime \], \[CN = NC\prime \]. Các mệnh đề sau đúng hay sai  ?

a)             Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {AN\,} \] và \[\overrightarrow {AC\,} \] bằng \[60^\circ \].

b)            Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {MN\,}  + \overrightarrow {AM\,} \] là \[\frac{{3a}}{2}\].

c)             Tích vô hướng \[\overrightarrow {AN\,}  \cdot \,\overrightarrow {AC\,}  = {a^2}\].

d)            Tích vô hướng \[\overrightarrow {MN\,}  \cdot \,\overrightarrow {A\prime C\prime \,}  = 2{a^2}\].

b)   Đúng.

c)    Sai.

d)   Đúng.

a)    Ta có: \[AC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 2 \].

Lại có: \[CN = NC\prime \] nên \[CN = NC\prime  = \frac{a}{2}\].

\[ABCD.A\prime B\prime C\prime D\prime \] là hình lập phương nên tam giác \[NAC\] là tam giác vuông tại \[C\].

Suy ra: \[\tan NAC = \frac{{CN}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\,\, \Rightarrow \,\,\widehat {NAC\,} \approx 19^\circ 28\prime \]

Ta có: \[\left( {\overrightarrow {AN\,} ,\,\overrightarrow {AC\,} } \right) = \widehat {NAC\,} \approx 19^\circ 28\prime \].

Mệnh đề a) sai.

b)   Trong tam giác \[NAC\] vuông tại \[C\] có: \[AN = \sqrt {A{C^2} + C{N^2}}  = \frac{{3a}}{2}\].

Ta có: \[\left| {\overrightarrow {MN\,}  + \overrightarrow {AM\,} } \right| = \left| {\overrightarrow {AN\,} } \right| = \frac{{3a}}{2}\].

Mệnh đề b) đúng.

c)    Ta có: \[\tan \widehat {NAC\,} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\,\, \Rightarrow \,\,\cos \widehat {NAC\,} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\] (Do \[\widehat {NAC\,} < 90^\circ \]).

Do đó: \[\overrightarrow {AN\,}  \cdot \,\overrightarrow {AC\,}  = \left| {\overrightarrow {AN\,} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {AC\,} } \right|.\,\cos \left( {\overrightarrow {AN\,} ,\,\overrightarrow {AC\,} } \right) = \frac{{3a}}{2}.\,a\sqrt 2 .\,\frac{{2\sqrt 2 }}{3} = 2{a^2}\].

Mệnh đề c) sai.

d)   Trên cạnh \[CC\prime \] lấy điểm \[M\prime \] sao cho: \[\frac{{CM\prime }}{{CC\prime }} = \frac{2}{3}\].

Suy ra: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{NM\prime  = NC\prime  - M\prime C\prime  = \frac{a}{6}}\\{MM\prime //AC}\\{MM\prime  = AC = a\sqrt 2 }\end{array}} \right.\].

Ta có: \[\cos \widehat {NMM\prime \,} = \frac{{N{M^2} + M\prime {M^2} - M\prime {N^2}}}{{2.\,NM.\,M\prime M}} = \frac{{6\sqrt {146} }}{{73}}\].

Mặt khác: \[\left( {\overrightarrow {MN\,} ,\,\overrightarrow {A\prime C\prime \,} } \right) = \left( {\overrightarrow {MN\,} ,\,\overrightarrow {MM\prime \,} } \right) = \widehat {NMM\prime \,}\].

Tam giác \[MNM\prime \] vuông tại \[M\prime \] có: \[MN = \sqrt {M\prime {N^2} + M\prime {M^2}}  = \frac{{a\sqrt {73} }}{6}\].

Do đó: \[\overrightarrow {MN\,}  \cdot \,\overrightarrow {A\prime C\prime \,}  = \left| {\overrightarrow {MN\,} } \right|.\,\left| {\overrightarrow {A\prime C\prime \,} } \right|.\,\cos \left( {\overrightarrow {MN\,} ,\,\overrightarrow {A\prime C\prime \,} } \right) = 2{a^2}\].

Mệnh đề d) đúng.