Cho hình lăng trụ đứng \(ABC\,A'B'C'\) đáy là tam giác đều cạnh \(2a,\,AA' = a\sqrt 3 \). \(H,K\) lần lượt là trung điểm \(BC,\,\,B'C'\). Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a) Hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {A'H\,} \] và \[\overrightarrow {AH\,} \] bằng \[60^\circ \].
c) Tích vô hướng \[\overrightarrow {AK\,} \cdot \,\overrightarrow {AB'\,} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].
d) Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AK\,} + \overrightarrow {AH\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
a) Hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
b) Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {A'H\,} \] và \[\overrightarrow {AH\,} \] bằng \[60^\circ \].
c) Tích vô hướng \[\overrightarrow {AK\,} \cdot \,\overrightarrow {AB'\,} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].
d) Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AK\,} + \overrightarrow {AH\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].
Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Vectơ trong không gian (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có tam giác \(\Delta ABC,\Delta A'B'C'\) đều cạnh \(2a\) suy ra \(A'K = AH = a\sqrt 3 \)
Xét tứ giác \(AA'KH\) có \(AA' = KH = AH = A'K = a\sqrt 3 \,,\,AA' \bot AH\) suy ra tứ giác \(AA'KH\) là hình vuông , từ đó dễ thấy hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vecto cùng phương ngược hướng.
Mệnh đề a) sai.
b) Ta có: \(AA'KH\) là hình vuông suy ra \(\widehat {A'HA} = 45^\circ \)
Có : \(A'A \bot AH \Rightarrow \Delta A'AH\) vuông tại \(A\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {A'H\,} ,\overrightarrow {AH\,} } \right) = \widehat {A'HA} = 45^\circ \)
Mệnh đề b) sai.
c) Ta có \(\Delta AB'C'\) cân tại \(A\), suy ra \(AK \bot B'C'\), \(AK = a\sqrt 6 ,\,B'K = a\)
\(AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = \sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 7 \)
Xét \(\Delta AKB'\) có \({\mathop{\rm Cos}\nolimits} \widehat {KAB'} = \frac{{AK}}{{AB'}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{6}{7}} \).
\(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AB'} = AK.AB'.{\mathop{\rm Cos}\nolimits} \widehat {KAB'} = a\sqrt 6 .a\sqrt 7 .\sqrt {\frac{6}{7}} = 6{a^2}\)
Mệnh đề c) sai.
d) Gọi \(I\) là trung điểm \(HK \Rightarrow IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(AI = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\).
Ta có : \(\left| {\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {AH} } \right| = \left| {2.\overrightarrow {AI} } \right| = 2AI = a\sqrt {15} \).
Mệnh đề d) đúng.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \[\overrightarrow a = \overrightarrow b + \overrightarrow c \].
B. \[\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \].
C. \[\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow 0 \].
D. \[\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c = \overrightarrow d \].
Lời giải
![Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\]. Đặt \[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrig (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/4-1759241227.png)
Ta có: \[\overrightarrow b - \overrightarrow c + \overrightarrow d = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \].
Lời giải
![Cho hình lập phương \[B'C\] có đường chéo \[A'C = \frac{3}{ (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/20-1759241959.png)
Ta có: \[A'{C^2} = A'{A^2} + A{C^2} = 3A'{A^2} \Rightarrow A'A = \frac{{A'C}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{16}}\].
Gọi \[O'\] là tâm của hình vuông \(A'B'C'D'\).
Lại có : \[\overrightarrow {OS} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {OD'} \]
\[ = \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OC'} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OD'} } \right)\]
\[ = 2\overrightarrow {OO'} + 2\overrightarrow {OO'} = 4\overrightarrow {OO'} \]
Suy ra \[OS = \left| {\overrightarrow {OS} } \right| = \left| {4\overrightarrow {OO'} } \right| = 4OO' = 4.\frac{{\sqrt 3 }}{{16}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\].
Khi đó \(a = 1,b = 4 \Rightarrow P = {a^2} + {b^2} = 17\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \[\sqrt 2 {a^2}\].
B. \[{a^2}\].
C. \[ - \sqrt 2 {a^2}\].
D. \[0\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng \[2\]. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/17-1759241886.png)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo