Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng \(1\), có tâm \(O\). Gọi \(I\) là tâm của hình vuông A'B'C'D và \(M\) là điểm thuộc đoạn \(OI\) sao cho \(MO = \frac{1}{2}MI\). Gắn hệ trục tọa độ A'xyz như hình vẽ.

a) Toạ độ điểm \(M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{4}} \right)\).

b) Toạ độ các điểm \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\), \(D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\) và \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).

c) Trong không gian giả sử điểm \(P,Q\) sao cho \(\overrightarrow {A'P}  = \overrightarrow {A'B'}  + 2\overrightarrow {A'D'}  - 2\overrightarrow {A'A} \); \(\overrightarrow {A'Q}  = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'}  + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A} \) và \(J\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A'PQ\), khi đó \(a - b + c = 0\).

d) Trong không gian có đúng 2 điểm \(N\) sao cho \(N\) không trùng với các điểm \(A\), \(B'\), \(D'\) và \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ \].

Biết ba sợi dây được thắt một đầu bên trên là điểm \(S\), ba sợi dây đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều \(ABC\),  độ dài sợi dây \(SA = SB = SC = 60\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\), bán kính hình tròn\(OA = OB = OC = 20\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Ta có hình chóp tam giác đều \(S.ABC\), gọi \(O\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow SO \bot (ABC)\) và \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = 40\sqrt 2 \left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Gọi lực chịu đựng của mỗi sợi dây là \({T_1},\;T{}_2,{T_3}\)các lực này bằng nhau và không quá 15 N \( \Rightarrow {T_1} = {T_2} = {T_3} \le 15{\rm{N}}\)\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \le 15\,{\rm{N}}\).

Lại có \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {SO}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {SO} \).

Gọi \(P\)là lực tác động lên miếng kê (là tổng lực của miếng giá gỗ hình tròn và lực của các chậu hoa) nên \(P = \left| {3\overrightarrow {SO} } \right| = 3SO\).

Vì \(P\)chia đều ra ba sợi dây

\( \Rightarrow \frac{P}{{3{T_1}}} = \frac{{3SO}}{{3SA}} = \frac{{SO}}{{SA}} = \frac{{40\sqrt 2 }}{{60}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3} \Leftrightarrow {T_1} = \frac{P}{{2\sqrt 2 }} \le 15{\rm{N}} \Leftrightarrow P \le 30\sqrt 2 {\rm{N}}\).

Suy ra trọng lượng của các chậu hoa là \({P_{hoa}} + {P_{go}} \le 30\sqrt 2 N \Leftrightarrow {P_{hoa}} \le \left( {30\sqrt 2  - 5} \right)N \approx 37,4{\rm{N}}\).

Vậy trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt là \(37,4{\rm{N}}\).

Đáp án: 37,4.

a) Đúng. Ra đa đặt trên đỉnh tháp, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp \(E(0;0;0,1)\).

b) Đúng. Tọa độ điểm \(F\left( {400; - 300;12} \right)\).

\[\overrightarrow {EF}  = \left( {400; - 300;11,9} \right) \Rightarrow EF \approx 500 < 600\,{\rm{km}}\]. Vậy \(F\)nằm trong phạm vi điều khiển của ra đa.

c) Sai. Từ \(F\), máy bay bay 1 giờ đến \(A\) với vận tốc \(90\,\,{\rm{km/h}}\) theo phương \(\vec a = (3;4;0)\).

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AF}  = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {AF} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.\]

Suy ra \(\overrightarrow {AF}  = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).\)

d) Sai. Gọi  \(K\left( {x,y,z} \right)\) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của ra đa, suy ra \(EK = 600;\)\[EF \approx 500\].

Khi đó \(\overrightarrow {FK}  = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y =  - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {EK}  = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} \right)\), mà \(EK = 600.\)

Suy ra \({\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 \Leftrightarrow k \approx 66.\)

Khi đó \(K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK}  = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330\).

Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của ra đa \(t = \frac{{330.60}}{{900}} = 22\) phút.