Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Một giỏ hoa treo trong nhà làm bằng \(3\) sợi dây không giãn, mỗi sợi dài 60 cm miếng kê là một miếng gỗ cân đối hình tròn bán kính 20 cm ba sợi dây được thắt một đầu bên trên và đỡ giá gỗ tại 3 điểm tạo thành tam giác đều (giả sử mối thắt của 3 sợi dây và mối nối của mỗi sợi dây với miếng gỗ không đáng kể). Biết lực chịu đựng của mỗi sợi dây bằng nhau và mỗi sợi chịu không quá 15 N, trọng lượng của miếng giá gỗ là 5 N. Tính trọng lượng tối đa của các chậu hoa để dây treo không bị đứt (đơn vị Newton, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

a) Đúng. Ra đa đặt trên đỉnh tháp, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên phía trên, suy ra tọa độ của đỉnh tháp \(E(0;0;0,1)\).

b) Đúng. Tọa độ điểm \(F\left( {400; - 300;12} \right)\).

\[\overrightarrow {EF}  = \left( {400; - 300;11,9} \right) \Rightarrow EF \approx 500 < 600\,{\rm{km}}\]. Vậy \(F\)nằm trong phạm vi điều khiển của ra đa.

c) Sai. Từ \(F\), máy bay bay 1 giờ đến \(A\) với vận tốc \(90\,\,{\rm{km/h}}\) theo phương \(\vec a = (3;4;0)\).

Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AF}  = k\overrightarrow a \\\left| {\overrightarrow {AF} } \right| = 900\end{array} \right. \Rightarrow k\left| {\overrightarrow a } \right| = 900 \Rightarrow k = \frac{{900}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 180.\]

Suy ra \(\overrightarrow {AF}  = \left( {540;720;0} \right) \Rightarrow A\left( {940;420;12} \right).\)

d) Sai. Gọi  \(K\left( {x,y,z} \right)\) là điểm máy bay đạt đến phạm vi quan sát của ra đa, suy ra \(EK = 600;\)\[EF \approx 500\].

Khi đó \(\overrightarrow {FK}  = k\overrightarrow a \left( {k > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 400 = 3k\\y + 300 = 4k\\z - 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 400 + 3k\\y =  - 300 + 4k\\z = 12\end{array} \right. \Rightarrow K\left( {400 + 3k; - 300 + 4k;12} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {EK}  = \left( {400 + 3k; - 300 + 4k;11,9} \right)\), mà \(EK = 600.\)

Suy ra \({\left( {400 + 3k} \right)^2} + {\left( { - 300 + 4k} \right)^2} + 11,{9^2} = {600^2} \Leftrightarrow 25{k^2} = 109858,39 \Leftrightarrow k \approx 66.\)

Khi đó \(K\left( {598; - 36;12} \right) \Rightarrow \overrightarrow {FK}  = \left( {198;264;0} \right) \Rightarrow FK = 330\).

Thời gian máy bay trong phạm vi theo dõi của ra đa \(t = \frac{{330.60}}{{900}} = 22\) phút.

a) Sai. Ta có: \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\). Suy ra: \(I\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0} \right)\).

Mặt khác ta có \(O\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {OI}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {0\,;\,0\,;\, - \frac{1}{6}} \right)\). Vậy \(M\left( {\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{3}} \right)\).

b) Đúng. Toạ độ các điểm \(A'\left( {0\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,B'\left( {1\,;\,0\,;\,0} \right)\,,\,D'\left( {0\,;\,1\,;\,0} \right)\) và \(A\left( {0\,;\,0\,;\,1} \right)\).

c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {A'P}  = \overrightarrow {A'B'}  + 2\overrightarrow {A'D'}  - 2\overrightarrow {A'A}  \Rightarrow P\left( {1\,;\,2\,;\, - 2} \right)\);

\(\overrightarrow {A'Q}  = \frac{8}{3}\overrightarrow {A'B'}  + \frac{4}{3}\overrightarrow {A'D'}  + \frac{8}{3}\overrightarrow {A'A}  \Rightarrow Q\left( {\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\).

Suy ra: \(A'P = 3\,,\,A'Q = 4,PQ = 5\).

\(J\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(A'PQ\). Suy ra \(PQ.\overrightarrow {JA'}  + A'P.\overrightarrow {JQ}  + A'Q.\overrightarrow {JP}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow 5\overrightarrow {JA'}  + 3\overrightarrow {JQ}  + 4\overrightarrow {JP}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow J\left( {1;1;0} \right)\).

Vậy \(a - b + c = 1 - 1 + 0 = 0\).

d) Đúng. Giả sử: \(N\left( {a;b;c} \right)\).

Ta có \[\widehat {ANB'} = \widehat {B'ND'} = \widehat {D'NA} = 90^\circ  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {B'N}  = 0\\\overrightarrow {D'N} .\overrightarrow {B'N}  = 0\\\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {D'N}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a\left( {a - 1} \right) + {b^2} + c\left( {c - 1} \right) = 0\\a\left( {a - 1} \right) + b\left( {b - 1} \right) + {c^2} = 0\\{a^2} + b\left( {b - 1} \right) + c\left( {c - 1} \right) = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c = 0\\a = b = c = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]. Vậy có hai điểm \(N\) thoả mãn điều kiện.