Bảng dưới đây cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của \(40\) học sinh lớp \(12{\rm{B}}\) trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam).

Nhóm	Số học sinh
\(\left[ {30\,;\,40} \right)\)	\(2\)
\(\left[ {40\,;\,50} \right)\)	\(10\)
\(\left[ {50\,;\,60} \right)\)	\(16\)
\(\left[ {60\,;\,70} \right)\)	\(8\)
\(\left[ {70\,;\,80} \right)\)	\(2\)
\(\left[ {80\,;\,90} \right)\)	\(2\)
	\(n = 40\)

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Số học sinh nặng dưới \(50\,kg\) là \(12\).

b) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ bằng \(54,29\,(kg)\).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là \(\frac{{39}}{2}.\)

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(128.\)

a) Số học sinh nặng dưới \(50\,kg\) là \(2 + 10 = 12\). Vậy ý a) đúng.

b)

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \(\left[ {50\,;\,60} \right).\)

Do đó $u_m=50; n_m=16; n_{m-1}=10, n_{m+1}=8, u_{m+1}-u_m=60-50=10$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ bằng:

\({M_0} = 50 + \frac{{16 - 10}}{{\left( {16 - 10} \right) + \left( {16 - 8} \right)}} \cdot 10 = \frac{{380}}{7} \approx 54,29\,(kg).\)

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên xấp xỉ bằng \(54,29\,(kg)\). Vậy ý b) đúng.

c)

Cỡ mẫu \(n = 40\).

Gọi \({x_1},\,{x_2} \in \left[ {30\,;\,40} \right);\)\({x_3},\,...,{x_{12}} \in \left[ {40\,;\,50} \right);\)\({x_{13}},\,...,{x_{28}} \in \left[ {50\,;\,60} \right);\)\({x_{29}},\,...,{x_{36}} \in \left[ {60\,;\,70} \right);\)\({x_{37}},{x_{38}} \in \left[ {70\,;\,80} \right);\)\({x_{39}},{x_{40}} \in \left[ {80\,;\,90} \right).\)

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{10}} + {x_{11}}} \right) \in \left[ {40\,;\,50} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_1} = 40 + \frac{{\frac{{40}}{4} - 2}}{{10}}.\left( {50 - 40} \right) = 48.\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{30}} + {x_{31}}} \right) \in \left[ {60\,;\,70} \right)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_3} = 60 + \frac{{\frac{{3.40}}{4} - \left( {2 + 10 + 16} \right)}}{8}.\left( {70 - 60} \right) = \frac{{125}}{2}.\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({\Delta _Q} = \frac{{125}}{2} - 48 = \frac{{29}}{2}.\)

Vậy ý c) sai.

d)

Ta có bảng cân nặng của các em học sinh theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu \(n = 2 + 10 + 16 + 8 + 2 + 2 = 40.\)

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

\(\frac{{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}}{{40}} = \frac{{2240}}{{40}} = 56\,(kg)\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({S^2} = \frac{1}{{40}}\left( {{{2.35}^2} + {{10.45}^2} + {{16.55}^2} + {{8.65}^2} + {{2.75}^2} + {{2.85}^2}} \right) - {56^2} = 3265 - 3136 = 129.\)

Vậy ý d) sai.