Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) có tâm lần lượt là \(O\) và \(O'\), không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\), xét các khẳng định             \(\left( I \right):\,\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\);\(\left( {II} \right):\,\left( {MOO'} \right){\rm{//}}\left( {ADF} \right)\);\(\left( {III} \right):\,\left( {MOO'} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right)\); \(\left( {IV} \right):\,\left( {ACE} \right){\rm{//}}\left( {BDF} \right)\)Những khẳng định nào đúng?              

a) b) c) Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng: \((ADF)//(BCE)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF//CD(//AB)}\\{EF = CD( = AB)}\end{array} \Rightarrow EFDC} \right.\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow FD//EC\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC;AF//BE}\\{AD,AF \subset (ADF);AD \cap AF = A}\\{BC,BE \subset (BEC);BC \cap BE = B}\end{array} \Rightarrow (ADF)//(BCE)} \right.\)

d) Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\).

Vẽ mp \((P)\) chứa \(M\) và \((P)//(ADF)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\).

Ta có: \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AN}}{{NC}}(IN//BC)\)

Ta có: \(\frac{{EJ}}{{IS}} = \frac{{ME}}{{MS}} = 2(IS//JE)\)

\(BI = EJ\) (tứ giác BIJE là hình bình hành)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BI}}{{IS}} = 2 \Rightarrow \frac{{BI}}{2} = \frac{{IS}}{1} = \frac{{BI + IS}}{{2 + 1}} = \frac{{BS}}{3}\\ \Rightarrow BI = \frac{2}{3}BS;IS = \frac{1}{3}BS\end{array}\)

Ta có: \(AI = AS + AI = BS + \frac{1}{3}BS = \frac{4}{3}BS \Rightarrow > \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{\frac{4}{3}BS}}{{\frac{2}{3}BS}} = 2 \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = 2\)

Chọn D

\[\left( {ABI} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BI\], \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] có điểm \[M\] chung. Vậy giao tuyến của \[\left( \alpha  \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] là đường thẳng qua \[M\] song song với \[IB\], giả sử cắt \[CD\] tại \[N\].

Lập luận tương tự ta được \[NP//AI\], \[P \in {\rm{A}}C\]; \[PM//AB\].

Do\[ABCD\] là tứ diện đều nên tam giác \[ABI\] cân tại \[I\] cân tại \[N\]