Cho lăng trụ tam giác \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) có \(I,K,G\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(ABC,{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime },AC{C^\prime }\). Gọi \(M,{M^\prime }\) lần lượt là trung điểm của \(BC,{B^\prime }{C^\prime }\). Khi đó:

a) \(AM{M^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành

b) \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{1}{3}{\rm{ }}\)

c) \((IKG)\) cắt \(\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\)

d) \(\left( {{A^\prime }KG} \right)//\left( {AI{B^\prime }} \right)\).

Gọi \(M,{M^\prime }\) lần lượt là trung điểm của \(BC,{B^\prime }{C^\prime }\).

\(M{M^\prime }\) là đường trung bình của hình bình hành \(BC{C^\prime }{B^\prime }\) nên

a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M{M^\prime }//B{B^\prime }}\\{M{M^\prime } = B{B^\prime }}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M{M^\prime }//A{A^\prime }}\\{M{M^\prime } = A{A^\prime }}\end{array} \Rightarrow AM{M^\prime }{A^\prime }} \right.} \right.{\rm{ l\`a h\`i nh b\`i nh h\`a nh}}{\rm{. }}\)

Vì \(I,K\) theo thứ tự là trọng tâm các tam giác \(ABC,{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) nên

\(IM = K{M^\prime } = \frac{1}{3}{A^\prime }{M^\prime } = \frac{1}{3}AM,\)mà \(IM//K{M^\prime }\) nên \(IK{M^\prime }M\) là hình bình hành.

Suy ra \(IK//M{M^\prime },M{M^\prime } \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right) \Rightarrow IK//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).(1)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(C{C^\prime }\), tam giác \(AMN\) có

b) \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AG}}{{AN}} = \frac{2}{3}{\rm{ }}\)(tính chất trọng tâm)

Suy ra \(IG//MN\) mà \(MN \subset \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\) nên \(IG//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).(2)

c) Từ (1) và (2) suy ra \((IKG)//\left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right)\).

Vì \(\left( {{A^\prime }KG} \right) \equiv \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right),\left( {AI{B^\prime }} \right) \equiv \left( {AM{B^\prime }} \right)\), ta cần chứng minh

\(\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)//\left( {AM{B^\prime }} \right)\).

Dễ thấy \(AM{M^\prime }{A^\prime }\) là hình bình hành nên \(AM//{A^\prime }{M^\prime }\) mà \({A^\prime }{M^\prime } \subset \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\) nên \(AM//\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\). (3)

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CM//{B^\prime }{M^\prime }}\\{CM = {B^\prime }{M^\prime }}\end{array} \Rightarrow CM{B^\prime }{M^\prime }} \right.\) là hình bình hành, suy ra \({B^\prime }M//C{M^\prime },C{M^\prime } \subset \left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right) \Rightarrow {B^\prime }M//\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)\).(4)

d) Từ (3) và (4) suy ra \(\left( {{A^\prime }{M^\prime }C} \right)//\left( {AM{B^\prime }} \right)\), hay \(\left( {{A^\prime }KG} \right)//\left( {AI{B^\prime }} \right)\).