Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43.

Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

a) Chứng minh \(mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)\) và \(mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)\) song song:

Ta có \(A{A^\prime }//D{D^\prime }\) và \(AB//CD\) nên \(mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)//mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)\).

b) Chứng minh \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm mp}\nolimits} \left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right)//mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right)}\\{(Q) \cap mp\left( {A{A^\prime },B{B^\prime }} \right) = {A^\prime }{B^\prime }}\\{(Q) \cap mp\left( {C{C^\prime },D{D^\prime }} \right) = {C^\prime }{D^\prime }}\end{array} \Rightarrow {A^\prime }{B^\prime }//{C^\prime }{D^\prime }} \right.\).(1)

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được \({A^\prime }{D^\prime }//{B^\prime }{C^\prime }\). (2)

c) Từ (1) và (2) suy ra \({A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) là hình bình hành.

d) Chứng minh \(O{O^\prime }//A{A^\prime }\) :

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta c\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BD{D^\prime }{B^\prime }} \right) = O{O^\prime }}\\{A{A^\prime } \subset \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right),B{B^\prime } \subset \left( {BD{D^\prime }{B^\prime }} \right)}\\{A{A^\prime }//B{B^\prime }}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow O{O^\prime }//A{A^\prime }//B{B^\prime }{\rm{ hay }}O{O^\prime }//A{A^\prime }.\end{array}\)

a) b) c) Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) nằm ở hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh rằng: \((ADF)//(BCE)\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF//CD(//AB)}\\{EF = CD( = AB)}\end{array} \Rightarrow EFDC} \right.\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow FD//EC\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD//BC;AF//BE}\\{AD,AF \subset (ADF);AD \cap AF = A}\\{BC,BE \subset (BEC);BC \cap BE = B}\end{array} \Rightarrow (ADF)//(BCE)} \right.\)

d) Tính \(\frac{{AN}}{{NC}}\).

Vẽ mp \((P)\) chứa \(M\) và \((P)//(ADF)\) cắt \(AB,AC,CD,EF\) lần lượt tại \(I,N,K,J\).

Ta có: \(\frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{AN}}{{NC}}(IN//BC)\)

Ta có: \(\frac{{EJ}}{{IS}} = \frac{{ME}}{{MS}} = 2(IS//JE)\)

\(BI = EJ\) (tứ giác BIJE là hình bình hành)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{BI}}{{IS}} = 2 \Rightarrow \frac{{BI}}{2} = \frac{{IS}}{1} = \frac{{BI + IS}}{{2 + 1}} = \frac{{BS}}{3}\\ \Rightarrow BI = \frac{2}{3}BS;IS = \frac{1}{3}BS\end{array}\)

Ta có: \(AI = AS + AI = BS + \frac{1}{3}BS = \frac{4}{3}BS \Rightarrow > \frac{{AI}}{{BI}} = \frac{{\frac{4}{3}BS}}{{\frac{2}{3}BS}} = 2 \Rightarrow \frac{{AN}}{{NC}} = 2\)