Cho hình vuông \(ABCD\) và tam giác \(SAB\) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. \(M\) là điểm nằm trên đoạn \(AB\), qua \(M\) dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với \(\left( {SBC} \right)\). Thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là hình gì?              

a) b) Vì \(HI\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) nên \(HI//AB\),

mà \(AB \subset (ABCD) \Rightarrow HI//(ABCD)\). (1)

Tương tự ta có: \(KI//BC,BC \subset (ABCD) \Rightarrow KI//(ABCD)\). (2)

Mặt khác: \(HI \subset (HKI),KI \subset (HKI),HI \cap KI = I\). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \((HIK)//(ABCD)\).

c) d)

\(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in AI,AI \subset (SAB)}\\{M \in DK,DK \subset (SCD)}\end{array} \Rightarrow M \in (SAB) \cap (SCD)} \right.\\ \Rightarrow SM = (SAB) \cap (SCD).\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\rm{ Khi d\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \cap (SCD) = SM}\\{AB \subset (SAB),CD \subset (SCD) \Rightarrow SM//AB//CD \Rightarrow SM//HI}\\{AB//CD}\end{array}} \right.(1)\\{\rm{ V\`i }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{N \in DH,DH \subset (SAD)}\\{N \in CI,CI \subset (SBC)}\end{array} \Rightarrow N \in (SAD) \cap (SBC)} \right.\\ \Rightarrow SN = (SAD) \cap (SBC).\end{array}\)

Khi đó, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAD) \cap (SBC) = SN}\\{AD \subset (SAD),BC \subset (SBC) \Rightarrow SN//AD//BC \Rightarrow SN//KI}\\{AD//BC}\end{array}} \right.(2)\)

Mặt khác ba điểm \(S,M,N\) không thẳng hàng. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \((SMN)//(HIK)\).

Chọn A

Gọi hai đường thẳng chéo nhau là \[a\]và \[b\], \[c\] là đường thẳng song song với \[a\] và cắt \[b\].

Gọi mặt phẳng \[\left( \alpha  \right) \equiv \left( {b,c} \right)\]. Do \[a{\rm{//}}c \Rightarrow a{\rm{//}}\left( \alpha  \right)\]

Giải sử mặt phẳng \[\left( \beta  \right){\rm{//}}\left( \alpha  \right)\] mà \[b \subset \left( \alpha  \right) \Rightarrow b{\rm{//}}\left( \beta  \right)\]

Mặt khác \[a{\rm{//}}\left( \alpha  \right) \Rightarrow a{\rm{//}}\left( \beta  \right)\]. Có vô số mặt phẳng \[\left( \beta  \right){\rm{//}}\left( \alpha  \right)\]

nên có vô số mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng chéo nhau.