Câu hỏi:

06/10/2025 83 Lưu

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(B{B^\prime },{A^\prime }{B^\prime },{B^\prime }{C^\prime }\). \(H\) là điểm bất kì thuộc cạnh \(A{A^\prime }\)\((P)\) là mặt phẳng đi qua \(H\) và song song với mặt phẳng \((MNP)\). Chứng minh các đoạn giao tuyến của hình lăng trụ với mặt phẳng \((P)\) tạo thành một hình thang.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\ (ảnh 1)

Ta có \((P)//(MNP);(MNP) \cap \left( {{A^\prime }{B^\prime }BA} \right) = MN\). Suy ra \((P) \cap \left( {{A^\prime }{B^\prime }BA} \right) = Hx//MN\).

Trong mặt phẳng \(\left( {{A^\prime }{B^\prime }BA} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(Hx\)\(AB\). Suy ra \((P) \cap \left( {{A^\prime }{B^\prime }BA} \right) = HK\).

\((P)//(MNP)\) nên \(NP//(P)\). Hơn nữa \(NP//{A^\prime }{C^\prime }\). Suy ra \((P)//{A^\prime }{C^\prime }\).

Trong mặt phẳng \(\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right)\), vẽ \(HI//{A^\prime }{C^\prime },I \in C{C^\prime }\).

Ta có \((P) \cap \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) = HI\). Tương tự, ta có \((P) \cap \left( {BC{C^\prime }{B^\prime }} \right) = IJ\) với \(J \in BC\)\(IJ//MP\).

\(K,J \in (P) \cap (ABC)\) nên \((P) \cap (ABC) = JK\).

Do đó các đoạn giao tuyến của mặt phẳng \((P)\) với các mặt của hình lăng trụ \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) tạo thành tứ giác \(HIJK\).

Mặt khác, \(KJ//HI\) (do cùng song song với \({A^\prime }{C^\prime }\)). Vậy tứ giác \[HIJK\] là hình thang.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AD\). Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(SAD,N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AN = \frac{1}{3}AC,P\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(CD\) sao cho \(DP = \frac{1}{3}DC\). Chứng minh rằng \((MNP)//(SBC)\).

Lời giải

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vớ (ảnh 1)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\)\(I\) là giao điểm của \(NP\)\(EC\).

Ta có \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{DP}}{{CP}} = \frac{1}{3}\) nên \(NP//AD\). Do \(AD//BC\) nên \(NP//BC\), suy ra \(NP//(SBC)\).

\(NP//AD\) nên ta có \(\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).

Do \(M\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\)\(E\) trung điểm của đoạn \(AD\) nên \(M \in SE\)\(\frac{{EM}}{{ES}} = \frac{1}{3}\). Như vậy \(\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{EM}}{{ES}}\) nên \(MI//SC\), suy ra \(MI//(SBC)\). Từ đó, ta có \((MNP)//(SBC)\).

Lời giải

Cho lăng trụ tam giác \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{ (ảnh 1)

a) b) Ta có \({I^\prime },I\) là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\)\(BC\).

Suy ra \(I{I^\prime }\) là đường trung bình của hình bình hành \(B{B^\prime }{C^\prime }C\).

Suy ra \(I{I^\prime } = B{B^\prime }\)\(I{I^\prime }//B{B^\prime }\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{I^\prime }//A{A^\prime }\left( {//B{B^\prime }} \right)}\\{I{I^\prime } = A{A^\prime }\left( { = B{B^\prime }} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow A{A^\prime }{I^\prime }I\) là hình bình hành. \( \Rightarrow AI//{A^\prime }{I^\prime }\).

c) Trong ( \(\left. {IA{A^\prime }{I^\prime }} \right)\), gọi \(E = A{I^\prime } \cap {A^\prime }I\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in A{I^\prime };A{I^\prime } \subset \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)}\\{E \in {A^\prime }I}\end{array} \Rightarrow } \right.\) Suy ra \(E = {A^\prime }I \cap \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\).

d) Tìm giao tuyến của \(\left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\)\(\left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)\).

Trong \(\left( {A{A^\prime }{B^\prime }B} \right)\), gọi \(F = A{B^\prime } \cap {A^\prime }B\).

FAB';AB'AB'C'FA'B;A'BA'BC'FAB'C'A'BC'(1)

Ta có \(E = A{I^\prime } \cap {A^\prime }I\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in A{I^\prime };A{I^\prime } \subset \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)}\\{E \in {A^\prime }I;{A^\prime }I \subset \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)}\end{array} \Rightarrow E \in \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right) \cap \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)(2)} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF = \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right) \cap \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP