Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(B{B^\prime },{A^\prime }{B^\prime },{B^\prime }{C^\prime }\). \(H\) là điểm bất kì thuộc cạnh \(A{A^\prime }\) và \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(H\) và song song với mặt phẳng \((MNP)\). Chứng minh các đoạn giao tuyến của hình lăng trụ với mặt phẳng \((P)\) tạo thành một hình thang.

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\) và \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(EC\).

Ta có \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{DP}}{{CP}} = \frac{1}{3}\) nên \(NP//AD\). Do \(AD//BC\) nên \(NP//BC\), suy ra \(NP//(SBC)\).

Vì \(NP//AD\) nên ta có \(\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{3}\).

Do \(M\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\) và \(E\) trung điểm của đoạn \(AD\) nên \(M \in SE\) và \(\frac{{EM}}{{ES}} = \frac{1}{3}\). Như vậy \(\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{EM}}{{ES}}\) nên \(MI//SC\), suy ra \(MI//(SBC)\). Từ đó, ta có \((MNP)//(SBC)\).

a) b) Ta có \({I^\prime },I\) là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\) và \(BC\).

Suy ra \(I{I^\prime }\) là đường trung bình của hình bình hành \(B{B^\prime }{C^\prime }C\).

Suy ra \(I{I^\prime } = B{B^\prime }\) và \(I{I^\prime }//B{B^\prime }\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{I^\prime }//A{A^\prime }\left( {//B{B^\prime }} \right)}\\{I{I^\prime } = A{A^\prime }\left( { = B{B^\prime }} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow A{A^\prime }{I^\prime }I\) là hình bình hành. \( \Rightarrow AI//{A^\prime }{I^\prime }\).

c) Trong ( \(\left. {IA{A^\prime }{I^\prime }} \right)\), gọi \(E = A{I^\prime } \cap {A^\prime }I\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in A{I^\prime };A{I^\prime } \subset \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)}\\{E \in {A^\prime }I}\end{array} \Rightarrow } \right.\) Suy ra \(E = {A^\prime }I \cap \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\).

d) Tìm giao tuyến của \(\left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) và \(\left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)\).

Trong \(\left( {A{A^\prime }{B^\prime }B} \right)\), gọi \(F = A{B^\prime } \cap {A^\prime }B\).

Ta có \(E = A{I^\prime } \cap {A^\prime }I\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in A{I^\prime };A{I^\prime } \subset \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)}\\{E \in {A^\prime }I;{A^\prime }I \subset \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)}\end{array} \Rightarrow E \in \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right) \cap \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)(2)} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF = \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right) \cap \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)\).