Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

a) b) Ta có \({I^\prime },I\) là trung điểm của \({B^\prime }{C^\prime }\) và \(BC\).

Suy ra \(I{I^\prime }\) là đường trung bình của hình bình hành \(B{B^\prime }{C^\prime }C\).

Suy ra \(I{I^\prime } = B{B^\prime }\) và \(I{I^\prime }//B{B^\prime }\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{I^\prime }//A{A^\prime }\left( {//B{B^\prime }} \right)}\\{I{I^\prime } = A{A^\prime }\left( { = B{B^\prime }} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow A{A^\prime }{I^\prime }I\) là hình bình hành. \( \Rightarrow AI//{A^\prime }{I^\prime }\).

c) Trong ( \(\left. {IA{A^\prime }{I^\prime }} \right)\), gọi \(E = A{I^\prime } \cap {A^\prime }I\).

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in A{I^\prime };A{I^\prime } \subset \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)}\\{E \in {A^\prime }I}\end{array} \Rightarrow } \right.\) Suy ra \(E = {A^\prime }I \cap \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\).

d) Tìm giao tuyến của \(\left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)\) và \(\left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)\).

Trong \(\left( {A{A^\prime }{B^\prime }B} \right)\), gọi \(F = A{B^\prime } \cap {A^\prime }B\).

Ta có \(E = A{I^\prime } \cap {A^\prime }I\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{E \in A{I^\prime };A{I^\prime } \subset \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right)}\\{E \in {A^\prime }I;{A^\prime }I \subset \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)}\end{array} \Rightarrow E \in \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right) \cap \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)(2)} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra \(EF = \left( {A{B^\prime }{C^\prime }} \right) \cap \left( {{A^\prime }B{C^\prime }} \right)\).

Vì \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\) nên \(EF//SD\). Vì \(EF\) không nằm trong mặt phẳng \((SCD)\) nên \(EF//(SCD)\).

Vì \(FG\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\) nên \(FG//CD\). Vì \(FG\) không nằm trong mặt phẳng \((SCD)\) nên \(FG//(SCD)\).

Mặt phẳng \((EFG)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(EF\) và \(FG\) cùng song song với mặt phẳng \((SCD)\) nên mặt phẳng \((EFG)\) song song với mặt phẳng \((SCD)\).