Cho \({u_n} = \frac{{1 + a + {a^2} + \cdots + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + \cdots + {b^n}}}\) với \(a,b\) là các số thực thoả mãn \(|a| < 1,|b| < 1\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2{n^2} + 1}}{{3{n^2} + n}}\).

Tính tổng \(S = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + \cdots + {( - 1)^n}\frac{1}{{{3^n}}} + \cdots \)

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) \(\lim {(\sqrt 3 )^n} = - \infty \)

b) \(\lim {\pi ^n} = 0\)

c) \(\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - 4} \right) = + \infty \)

d) \(\lim \left( { - {n^4} + 5{n^3} - 4n} \right) = - \infty \)

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(5\;m\) xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ \(n\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.