Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(5\;m\) xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ \(n\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(5\;m\) xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là \({u_1} = \frac{2}{3} \cdot 5\).

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao \({u_1}\) xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là \({u_2} = \frac{2}{3}{u_1} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{2}{3} \cdot 5} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\).

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao \({u_2}\) xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là \({u_3} = \frac{2}{3}{u_2} = \frac{2}{3} \cdot \left( {5 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3}\) và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ \[n\], quả bóng nảy lên độ cao là \({u_n} = 5 \cdot {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\), do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\), suy ra điều phải chứng minh.