Một quả bóng cao su được thả từ độ cao \(5\;m\) xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ \(n\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\)

b) \(\lim \frac{1}{{{{(\sqrt 2 )}^n}}} = - \infty \)

c) \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\)

d) \(\lim 4 = 0\)

Tính được các giới hạn sau, khi đó:

a) \(\lim {(\sqrt 3 )^n} = - \infty \)

b) \(\lim {\pi ^n} = 0\)

c) \(\lim \left( {{n^3} + 2{n^2} - 4} \right) = + \infty \)

d) \(\lim \left( { - {n^4} + 5{n^3} - 4n} \right) = - \infty \)

Biết giới hạn \(\lim \frac{{2n + 1}}{{ - 3n + 2}} = a\). Khi đó:

a) Giá trị \(a\) lớn hơn 0.

b) Ba số \( - \frac{5}{3};a;\frac{1}{3}\) tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng \(2\)

c) Trên khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\) phương trình lượng giác \(\sin x = a\) có 3 nghiệm

d) Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 3\) và \({u_1} = a\), thì \({u_3} = - 6\)

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 2} \right| \le \frac{1}{{{3^n}}}\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\).