Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\,\,khi\,\,x \ne 1\\k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$. Tìm $k$ để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 1$.

A. \[k = 2\sqrt {2019} \].

B. \[k = \frac{{2017.\sqrt {2018} }}{2}\].

C. \[k = 1\].

D. \[k = \frac{{20016}}{{2017}}\sqrt {2019} \].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Hàm số liên tục (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} - \sqrt {x + 2018} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2016}} - 1 + x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017{\rm{x}} - 2017}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}$$ = 2\sqrt {2019} $

Để hàm số liên tục tại $x = 1$ $ \Leftrightarrow $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ $ \Leftrightarrow k = 2\sqrt {2019} $.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$. Tìm \[a\] để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\].

A. $a = 0$.

B. $a = - \frac{1}{2}$.

C. $a = \frac{1}{2}$.

D. $a = 1$.

Lời giải

Chọn C

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\]\[ = \frac{1}{2}\].

Để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\] khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]$ \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$.

Câu 2

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,x \ne 1\\x + 1 & {\rm{khi}}\,x = 1\end{array} \right.$ và $g(x) = 4{x^2} - x + 1$. Khi đó:

a) Ta có $f(1) = 2$

b) Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$

c) Hàm số $g\left( x \right)$liên tục tại điểm ${x_0} = 1$

d) Hàm số $y = f\left( x \right) - g\left( x \right)$ không liên tục tại điểm ${x_0} = 1$

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2$.

$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( {{x_0}} \right){\rm{. }}$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Ta có: $g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)$

Vậy hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Câu 3